На доске на­пи­са­но 11 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести наи­мень­ших из них равно 5, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести наи­боль­ших равно 15.

а)  Может ли наи­мень­шее из этих один­на­дца­ти чисел рав­нять­ся 3?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех один­на­дца­ти чисел рав­нять­ся 9?

в)  Пусть B  — ше­стое по ве­ли­чи­не число, а S  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех один­на­дца­ти чисел. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния

На доске на­пи­са­но 11 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести наи­мень­ших из них равно 7, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести наи­боль­ших равно 16.

а)  Может ли наи­мень­шее из этих один­на­дца­ти чисел рав­нять­ся 5?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех один­на­дца­ти чисел рав­нять­ся 10?

в)  Пусть B  — ше­стое по ве­ли­чи­не число, а S  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех один­на­дца­ти чисел. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния

В шко­лах № 1 и № 2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли по край­ней мере два уча­щих­ся, а сум­мар­но тест писал 51 уча­щий­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл был целым чис­лом. После этого один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, пе­ре­шел из школы № 1 в школу № 2, а сред­ние баллы за тест были пе­ре­счи­та­ны в обеих шко­лах.

а)  Мог ли сред­ний балл в школе № 1 вы­рас­ти в два раза?

б)  Сред­ний балл в школе № 1 вырос на 10%, сред­ний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Мог ли пер­во­на­чаль­ный сред­ний балл в школе № 2 рав­нять­ся 1?

в)  Сред­ний балл в школе № 1 вырос на 10%, сред­ний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние пер­во­на­чаль­но­го сред­не­го балла в школе № 2.

а)  Пред­ставь­те число в виде суммы не­сколь­ких дро­бей, все чис­ли­те­ли ко­то­рых  — еди­ни­ца, а зна­ме­на­те­ли  — по­пар­но раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа.

б)  Пред­ставь­те число в виде суммы не­сколь­ких дро­бей, все чис­ли­те­ли ко­то­рых  — еди­ни­ца, а зна­ме­на­те­ли  — по­пар­но раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа.

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные пары на­ту­раль­ных чисел m и n, для ко­то­рых и

В шко­лах № 1 и № 2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли по край­ней мере два уча­щих­ся, а сум­мар­но тест писал 81 уча­щий­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл был целым чис­лом. После этого, один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, пе­ре­шел из школы № 1 в школу № 2, а сред­ние баллы за тест были пе­ре­счи­та­ны в обеих шко­лах.

а)  Мог ли сред­ний балл в школе № 1 вы­рас­ти в два раза?

б)  Сред­ний балл в школе № 1 вырос на 20%, сред­ний балл в школе № 2 также вырос на 20%. Мог ли пер­во­на­чаль­ный сред­ний балл в школе № 2 рав­нять­ся 1?

в)  Сред­ний балл в школе № 1 вырос на 20%, сред­ний балл в школе № 2 также вырос на 20%. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние пер­во­на­чаль­но­го сред­не­го балла в школе № 2.

В шко­лах № 1 и № 2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли по край­ней мере два уча­щих­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл был целым чис­лом. В пер­вой школе он со­ста­вил 54 балла. После этого один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, пе­ре­шел из школы № 1 в школу № 2, при этом сред­ние баллы за тест уве­ли­чи­лись на 12.5% в обеих шко­лах.

a)  Сколь­ко уче­ни­ков, пи­сав­ших тест, могло быть в пер­вой школе?

б)  Какой мак­си­маль­ный балл мог быть у уча­ще­го­ся из пер­вой школы?

в)  Какой ми­ни­маль­ный сред­ний балл мог быть у уча­щих­ся во вто­рой школе?

В шко­лах № 1 и № 2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли по край­ней мере два уча­щих­ся, а сум­мар­но тест пи­са­ли 9 уча­щих­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл был целым чис­лом. После этого, один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, пе­ре­шел из школы № 1 в школу № 2, а сред­ние баллы за тест были пе­ре­счи­та­ны в обеих шко­лах.

а)  Мог ли сред­ний балл в школе № 1 умень­шить­ся в 10 раз?

б)  Сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся на 10%, сред­ний балл в школе № 2 также умень­шил­ся на 10%. Мог ли пер­во­на­чаль­ный сред­ний балл в школе № 2 рав­нять­ся 7?

в)  Сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся на 10%, сред­ний балл в школе № 2 также умень­шил­ся на 10%. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние пер­во­на­чаль­но­го сред­не­го балла в школе № 2.

В шко­лах № 1 и № 2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли по край­ней мере два уча­щих­ся, а сум­мар­но тест пи­са­ли 50 уча­щих­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл был целым чис­лом. После этого, один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, пе­ре­шел из школы № 1 в школу № 2, а сред­ние баллы за тест были пе­ре­счи­та­ны в обеих шко­лах.

а)  Мог ли сред­ний балл в школе № 1 умень­шить­ся в 2 раза?

б)  Сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся на 2%, сред­ний балл в школе № 2 также умень­шил­ся на 2%. Мог ли пер­во­на­чаль­ный сред­ний балл в школе № 2 рав­нять­ся 9?

в)  Сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся на 2%, сред­ний балл в школе № 2 также умень­шил­ся на 2%. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние пер­во­на­чаль­но­го сред­не­го балла в школе № 2.

В шко­лах № 1 и № 2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли не мень­ше двух уча­щих­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл за тест был целым чис­лом, при­чем в школе № 1 сред­ний балл рав­нял­ся 18. Один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, пе­ре­шел из школы № 1 в школу № 2, а сред­ние баллы за тест были пе­ре­счи­та­ны в обеих шко­лах. В ре­зуль­та­те сред­ний балл в школе № 1 вырос на 10%.

а)  Сколь­ко уча­щих­ся могло пи­сать тест в школе № 1 из­на­чаль­но?

б)  В школе № 1 все пи­сав­шие тест на­бра­ли раз­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство бал­лов мог на­брать уча­щий­ся этой школы?

в)  Из­вест­но, что из­на­чаль­но в школе № 2 пи­са­ли тест более 10 уча­щих­ся и после пе­ре­хо­да од­но­го уча­ще­го­ся в эту школу и пе­ре­сче­та бал­лов сред­ний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство уча­щих­ся могло пи­сать тест в школе № 2 из­на­чаль­но?

В шко­лах №1 и №2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли по край­ней мере 2 уча­щих­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл за тест был целым чис­лом, причём в школе №1 сред­ний балл рав­нял­ся 42.

Один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а сред­ние баллы за тест были пе­ре­счи­та­ны в обеих шко­лах. В ре­зуль­та­те сред­ний балл в школе №1 вырос на 25%, сред­ний балл в школе №2 также вырос на 25%.

а)  Сколь­ко уча­щих­ся могло пи­сать тест в школе №1 из­на­чаль­но?

б)  В школе №1 все пи­сав­шие тест на­бра­ли раз­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство бал­лов мог на­брать уча­щий­ся этой школы?

в)  Из­вест­но, что из­на­чаль­но в школе №2 пи­са­ли тест более 10 уча­щих­ся. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство уча­щих­ся могло пи­сать тест в школе №2 из­на­чаль­но?

За про­хож­де­ние каж­до­го уров­ня игры на план­ше­те можно по­лу­чить от одной до трёх звёзд. При этом заряд ак­ку­му­ля­то­ра план­ше­та умень­ша­ет­ся на 3 пунк­та при по­лу­че­нии трёх звёзд, на 6 пунк­тов при по­лу­че­нии двух звёзд и на 9 пунк­тов при по­лу­че­нии одной звез­ды. Витя прошёл не­сколь­ко уров­ней игры под­ряд.

а)  Мог ли заряд ак­ку­му­ля­то­ра умень­шить­ся ровно на 32 пунк­та?

б)  Сколь­ко уров­ней игры было прой­де­но, если заряд ак­ку­му­ля­то­ра умень­шил­ся на 33 пунк­та и сум­мар­но было по­лу­че­но 17 звёзд?

в)  За прой­ден­ный уро­вень на­чис­ля­ет­ся 9000 очков при по­лу­че­нии трёх звёзд, 5000  — при по­лу­че­нии двух звёзд и 2000  — при по­лу­че­нии одной звез­ды. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков мог по­лу­чить Витя, если заряд ак­ку­му­ля­то­ра умень­шил­ся на 33 пунк­та и сум­мар­но было по­лу­че­но 17 звёзд?

При­ме­ча­ние ре­дак­ции Решу ЕГЭ.

В п. а) счи­тай­те на­чаль­ный заряд до­ста­точ­но боль­шим.

За про­хож­де­ние каж­до­го уров­ня игры на план­ше­те можно по­лу­чить от одной до трёх звёзд. При этом заряд ак­ку­му­ля­то­ра план­ше­та умень­ша­ет­ся на 9 пунк­тов при по­лу­че­нии трёх звёзд, на 12 пунк­тов при по­лу­че­нии двух звёзд и на 15 пунк­тов при по­лу­че­нии одной звез­ды. Витя прошёл не­сколь­ко уров­ней игры под­ряд.

а)  Мог ли заряд ак­ку­му­ля­то­ра умень­шить­ся ровно на 50 пунк­тов?

б)  Сколь­ко уров­ней игры было прой­де­но, если заряд ак­ку­му­ля­то­ра умень­шил­ся на 75 пунк­тов и сум­мар­но было по­лу­че­но 11 звёзд?

в)  За прой­ден­ный уро­вень на­чис­ля­ет­ся 7000 очков при по­лу­че­нии трёх звёзд, 6000  — при по­лу­че­нии двух звёзд и 3000  — при по­лу­че­нии одной звез­ды. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков мог по­лу­чить Витя, если заряд ак­ку­му­ля­то­ра умень­шил­ся на 75 пунк­тов и сум­мар­но было по­лу­че­но 11 звёзд?

а)  Можно ли вы­черк­нуть не­сколь­ко цифр из числа 123456789 так, чтобы по­лу­чи­лось число, крат­ное 72?

б)  Можно ли вы­черк­нуть не­сколь­ко цифр из числа 846927531 так, чтобы по­лу­чи­лось число, крат­ное 72?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство цифр можно вы­черк­нуть из числа 124875963 так, чтобы по­лу­чи­лось число, крат­ное 72?

На доске на­пи­са­но 10 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести наи­мень­ших из них равно 5, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести наи­боль­ших равно 15.

а)  Может ли наи­мень­шее из этих чисел рав­нять­ся 3?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел рав­нять­ся 11?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го всех чисел.

В школь­ном живом угол­ке че­ты­ре уче­ни­ка кор­мят кро­ли­ков. Каж­дый уче­ник на­сы­па­ет не­сколь­ким кро­ли­кам (хотя бы од­но­му, но не всем) пор­цию корма. При этом пер­вый уче­ник даёт пор­ции по 100 г, вто­рой  — по 200 г, тре­тий по 300 г, четвёртый  — по 400 г, а какие-то кро­ли­ки могут остать­ся без корма.

а)  Может ли ока­зать­ся, что кро­ли­ков было 15 и все они по­лу­чи­ли оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство корма?

б)  Может ли ока­зать­ся, что кро­ли­ков было 15 и все кро­ли­ки по­лу­чи­ли раз­ное ко­ли­че­ство корма?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство кро­ли­ков могло быть в живом угол­ке, если из­вест­но, что каж­дый уче­ник за­сы­пал корм ровно четырём кро­ли­кам и все кро­ли­ки по­лу­чи­ли раз­ное ко­ли­че­ство корма?