Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 520874

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. В первой школе он составил 54 балла. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, при этом средние баллы за тест увеличились на 12.5% в обеих школах.

a) Сколько учеников, писавших тест, могло быть в первой школе?

б) Какой максимальный балл мог быть у учащегося из первой школы?

в) Какой минимальный средний балл мог быть у учащихся во второй школе?

Спрятать решение

Решение.

а) Заметим, что увеличить число на 12,5% это тоже самое, что умножить его на  дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби .

Пусть в первой школе писали тест n человек, и учащийся, перешедший потом во вторую школу, набрал a баллов. Тогда из условия получается уравнение:  дробь: числитель: 54n минус a, знаменатель: n минус 1 конец дроби =54 умножить на дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби . Решая это уравнение относительно n, получаем: n=9 минус дробь: числитель: 4a, знаменатель: 27 конец дроби . Значит, n меньше 9. Заметим так же, что среднее арифметическое баллов после перехода ученика равно  дробь: числитель: 243, знаменатель: 4 конец дроби , значит, n минус 1 делится на 4. Двум последним условиям удовлетворяет только число 5.

б) Из пункта a) получаем, что четыре оставшихся в первой школе ученика суммарно набрали 243 балла. Трое из них не могут набрать суммарно меньше, чем 3 балла. Значит, максимальный балл у четвертого учащегося равен 240.

Ученик же, перешедший во вторую школу, набрал 54 умножить на 5 минус 243=27 баллов.

в) Ясно, что среднее арифметическое баллов не может быть меньше, чем единица. Приведем пример, когда он равен 1. Пусть тест до перехода писали m детей. Тогда из условия получается уравнение:  дробь: числитель: m плюс 27, знаменатель: m плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби равносильно 9 левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка =8 левая круглая скобка m плюс 27 правая круглая скобка равносильно m=207. Значит, во второй школе могло быть 207 писавших тест детей, каждый из которых получил 1 балл.

 

Ответ: а) 5; б) 240; в) 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— пример в пункте а;

— обоснованное решение пункта б;

— искомая оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 01.06.2018. Основная волна. Дальний Восток. (C часть)., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018
Классификатор алгебры: Числа и их свойства