Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 520943

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали не меньше двух учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причем в школе № 1 средний балл равнялся 18. Один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе № 1 вырос на 10%.

а) Сколько учащихся могло писать тест в школе № 1 изначально?

б) В школе № 1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?

в) Известно, что изначально в школе № 2 писали тест более 10 учащихся и после перехода одного учащегося в эту школу и пересчета баллов средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе № 2 изначально?

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть в школе № 1 писали тест n учащихся. Тогда суммарный балл всех учащихся этой школы равнялся 18n , а после перехода одного учащегося в школу № 2 суммарный балл стал равняться 19,8(n − 1). Таким образом, суммарный балл уменьшился на 1,8(11 − n). Это число должно быть натуральным, поскольку равняется количеству баллов перешедшего в школу № 2 учащегося. Значит, этот учащийся набрал 9 баллов и n = 6.

б) В школе № 1 тест писали 6 учащихся, один из которых набрал 9 баллов. При этом суммарно они набрали 108 баллов. Значит, наибольшее количество баллов у учащегося с лучшим результатом могло быть тогда, когда сумма баллов остальных пяти учащихся была наименьшей, то есть когда они набрали 1, 2, 3, 4 и 9 баллов. В этом случае наибольший балл равен 89.

в) Пусть в школе № 2 писали тест m учащихся, а средний балл равнялся B. Тогда получаем:

1,1 левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка B минус mB=9 равносильно левая круглая скобка m плюс 11 правая круглая скобка B = 90.

Таким образом, число 90 должно делиться на m + 11. При этом m + 11 > 21, поскольку m > 10. Число 90 имеет 3 делителя, больших 21: 30, 45 и 90. Значит, m + 11 ≥ 30, откуда m ≥ 19.

Покажем, что число m может равняться 19. Этот случай реализуется, например, если в школе №1 писали тест 6 учащихся, один учащийся набрал 9 баллов, один учащийся набрал 27 баллов и 4 учащихся набрали по 18 баллов, в школе № 2 писали тест 19 учащихся и каждый набрал по 3 балла, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 9 баллов.

 

Ответ: а) 6; б) 89; в) 19.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 520943: 520950 Все

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 325 (C часть)., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018
Классификатор алгебры: Числа и их свойства