Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 520950

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №1 средний балл равнялся 42.

Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 вырос на 25%, средний балл в школе №2 также вырос на 25%.

а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?

б) В школе №1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?

в) Известно, что изначально в школе №2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть в школе №1 писали тест n учащихся. Тогда суммарный балл всех учащихся этой школы равнялся 42n , а после перехода одного учащегося в школу №2 суммарный балл стал равняться 52,5(n − 1). Таким образом, суммарный балл уменьшился на 10,5(5 − n). Это число должно быть натуральным, поскольку равняется количеству баллов перешедшего в школу №2 учащегося. Значит, этот учащийся набрал 21 балл и n = 3.

б) В школе №1 тест писали 3 учащихся, один из которых набрал 21 баллов. При этом суммарно они набрали 126 баллов. Значит, наибольшее количество баллов у учащегося с лучшим результатом могло быть тогда, когда сумма

баллов остальных двух учащихся была наименьшей, то есть когда они набрали 1 и 21 баллов. В этом случае наибольший балл равен 104.

в) Пусть в школе №2 писали тест m учащихся, а средний балл равнялся B. Тогда получаем:

1,25 левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка B минус mB=21 равносильно левая круглая скобка m плюс 5 правая круглая скобка B = 84.

Таким образом, число 84 должно делиться на m + 5. При этом m + 5 > 15, поскольку m > 10. Число 84 имеет 4 делителя, больших 15: 21, 28, 42 и 84. Значит, m + 5 ≥ 21, откуда m ≥ 16.

Покажем, что число m может равняться 16. Этот случай реализуется, например, если в школе №1 писали тест 3 учащихся, один учащийся набрал 21 балл, один учащийся набрал 63 баллa и один учащийся набрал 42 баллов, в школе №2 писали тест 16 учащихся и каждый набрал по 4 балла, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 21 балл.

 

Ответ: а) 3; б) 104; в) 16.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 520943: 520950 Все

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 326 (C часть)., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018
Классификатор алгебры: Числа и их свойства