Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 521010

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.

а) Может ли наименьшее из этих чисел равняться 3?

б) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 11?

в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех чисел.

Спрятать решение

Решение.

а) Если наименьшее число равно 3, то сумма шести наименьших чисел не меньше 3 плюс 4 плюс 5 плюс 6 плюс 7 плюс 8=33, а их среднее арифметическое больше 5.

б) Упорядочим числа по возрастанию и обозначим их a_1,a_2,...,a_9,a_10. Сумма шести наименьших чисел равна 30, сумма шести наибольших чисел равна 90, сумма всех десяти чисел равна 110. Тогда a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_9 плюс a_10 плюс a_5 плюс a_6=120, то есть a_5 плюс a_6=10. Но такого быть не может, так как a_5\geqslant5 и a_6\geqslant6.

в) Докажем, что a_5 плюс a_6 \geqslant15. Пусть a_5 плюс a_6 \leqslant14, тогда a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс a_4\geqslant16, значит, a_4\geqslant6 (иначе a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс a_4\leqslant2 плюс 3 плюс 4 плюс 5=14). Но тогда a_5 плюс a_6 \geqslant7 плюс 8=15. Противоречие. Значит, a_5 плюс a_6 \geqslant15. Таким образом, a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_9 плюс a_10=120 минус левая круглая скобка a_5 плюс a_6 правая круглая скобка \leqslant105. Тогда среднее арифметическое всех 10 чисел не превосходит 10,5.

Среднее арифметическое набора 2, 3, 4, 6, 7, 8, 14, 16, 22, 23, удовлетворяющего условиям задачи, как раз равно 10,5.

 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 10,5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— пример в пункте а;

— обоснованное решение пункта б;

— искомая оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 25.06.2018. Вариант 557 (C часть)., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018
Классификатор алгебры: Числа и их свойства