Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 520827

а) Представьте число  дробь: числитель: 33, знаменатель: 100 конец дроби в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.

б) Представьте число  дробь: числитель: 15, знаменатель: 91 конец дроби в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.

в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых m меньше или равно n и  дробь: числитель: 1, знаменатель: m конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

а) Приведем пример такой суммы:  дробь: числитель: 33, знаменатель: 100 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 50 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби .

 

б) Приведем пример такой суммы:  дробь: числитель: 15, знаменатель: 91 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 13 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 91 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 182 конец дроби .

 

в) Пусть m = dp, n = dq, где d — наибольший общий делитель чисел m и n. Тогда  дробь: числитель: 1, знаменатель: dp конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: dq конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби ; 14 левая круглая скобка p плюс q правая круглая скобка =dpq. Числа p, q и p + q попарно взаимно простые, поэтому числа p и q являются взаимно простыми делителями числа 14. Получаем следующие варианты:

pqdmn
11282828
12212142
171616112
1141515210
2791863

 

Ответ:

а) Да, например,  дробь: числитель: 33, знаменатель: 100 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 50 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби ;

б) Да, например,  дробь: числитель: 15, знаменатель: 91 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 13 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 91 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 182 конец дроби или другой пример:  дробь: числитель: 15, знаменатель: 91 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 91 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 182 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 273 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 546 конец дроби

в) 28 и 28, 21 и 42, 16 и 112, 15 и 210, 18 и 63.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 01.06.2018. Основная волна. Вариант 991 (C часть). Он же: вариант 751 (резервная волна 25.06.2018), Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018
Классификатор алгебры: Числа и их свойства