Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 521000

а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 123456789 так, чтобы получилось число, кратное 72?

б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72?

в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 124875963 так, чтобы получилось число, кратное 72?

Спрятать решение

Решение.

а) Например, если из числа 123456789 вычеркнуть цифры 2, 7 и 9, то получится число 134568, кратное 72.

б) Предположим, что можно вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72.

Если число кратно 72, то оно чётное. Значит, цифры 7, 5, 3 и 1 должны быть вычеркнуты. Получается число 84692. Оно не кратно 72, поэтому из него надо вычеркнуть цифры так. чтобы получилось число, кратное 72. Значит, сумма оставшихся цифр должна делиться на 9, то есть сумма вычеркнутых цифр должна быть равна 2, 11 или 20. Это возможно, только если вычеркнуть или 2, или 2 и 9, или 2, 4, 6 и 8. Ни одно из получающихся чисел: 8469, 846. 9 — не делится на 72.

в) Заметим, что все цифры числа 124875963 различны и не равны нулю.

Если вычеркнуть из исходного числа 8 или 7 цифр, то получится число, меньшее 100. Среди таких чисел только 72 делится на 72, но его нельзя получить при вычёркивании цифр из исходного числа.

Если вычеркнуть из исходного числа 6 цифр, то получится трёхзначное число. Среди трёхзначных чисел, все цифры в которых различны и не равны нулю, на 72 делятся только следующие: 216, 432, 576, 648, 792, 864, 936. Ни одно из них нс получается при вычёркивании из числа 124875963 нескольких цифр.

Значит, нельзя вычеркнуть более 5 цифр так, чтобы получившееся число было кратно 72. Пять цифр вычеркнуть можно. Например, если вычеркнуть цифры 4, 8. 7, 5 и 3. то получится число 1296, кратное 72.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 25.06.2018. Основная волна, резервный день. Вариант 992 (C часть), Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018
Классификатор алгебры: Числа и их свойства