Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 520808

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в два раза?

б) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе № 2 равняться 1?

в) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть в школе № 1 писали тест n учащихся, а средний балл был равен А. Тогда суммарный балл всех учащихся этой школы равнялся nA, а значит, после перехода одного учащегося в школу № 2, суммарный балл стал равен 2 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка A. Таким образом, суммарный балл уменьшился на  левая круглая скобка 2 минус n правая круглая скобка A, что невозможно, поскольку перешедший учащийся набрал положительное количество баллов, а n\geqslant2.

б) Пусть в школе № 2 средний балл равнялся В, а перешедший в нее учащийся набрал u баллов. Тогда получаем:

u=nA минус 1,1 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка A=1,1 левая круглая скобка 52 минус n правая круглая скобка B минус левая круглая скобка 51 минус n правая круглая скобка B,

или

10u= левая круглая скобка 11 минус n правая круглая скобка A= левая круглая скобка 62 минус n правая круглая скобка B.

Если B=1, то n=2, поскольку число  левая круглая скобка 62 минус n правая круглая скобка B должно делиться на 10, а  левая круглая скобка 11 минус n правая круглая скобка A не должно быть отрицательным. Получаем 9A=60, что невозможно, поскольку A целое.

в) Заметим, что если B=2, то n=2 или n=7. В первом случае 9A=120, а во втором 4A=110. Значит, ни один из этих случаев не возможен.

При B=3 получаем n=2, откуда u=18, A=20. Этот случай реализуется, например, если в школе № 1 писали тест 2 учащихся и набрали 22 и 18 баллов, а в школе № 2 писали тест 49 учащихся и каждый набрал по три балла, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 18 баллов.

 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 520808: 520884 520920 520858 Все

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 301 (C часть)., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018
Классификатор алгебры: Числа и их свойства
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Михаил Нестулей 02.06.2018 10:35

А разве есть условие, что новый средний балл-это натуральное число?

Александр Иванов

Такого условия нет (но и в решении это нигде нет).