а)  Пусть в школе № 1 пи­са­ли тест n уча­щих­ся, а сред­ний балл был равен А. Тогда сум­мар­ный балл всех уча­щих­ся этой школы рав­нял­ся nA. После пе­ре­хо­да уча­ще­го­ся в школу № 2 сред­ний балл вырос в два раза, то есть стал равен 2A, а ко­ли­че­ство уча­щих­ся стало Тогда сум­мар­ный балл после пе­ре­хо­да уча­ще­го­ся стал равен Таким об­ра­зом, сум­мар­ный балл умень­шил­ся на что не­воз­мож­но, по­сколь­ку пе­ре­шед­ший уча­щий­ся на­брал по­ло­жи­тель­ное ко­ли­че­ство бал­лов, а

б)  Пусть в школе № 2 сред­ний балл рав­нял­ся В, а пе­ре­шед­ший в нее уча­щий­ся на­брал u бал­лов. Тогда по­лу­ча­ем:

или

Если то по­сколь­ку число долж­но де­лить­ся на 10, а не долж­но быть от­ри­ца­тель­ным. По­лу­ча­ем что не­воз­мож­но, по­сколь­ку A целое.

в)  За­ме­тим, что если то или В пер­вом слу­чае а во вто­ром Зна­чит, ни один из этих слу­ча­ев не воз­мо­жен.

При по­лу­ча­ем от­ку­да Этот слу­чай ре­а­ли­зу­ет­ся, на­при­мер, если в школе № 1 пи­са­ли тест 2 уча­щих­ся и на­бра­ли 22 и 18 бал­лов, а в школе № 2 пи­са­ли тест 49 уча­щих­ся и каж­дый на­брал по три балла, а у пе­ре­шед­ше­го из одной школы в дру­гую уча­ще­го­ся 18 бал­лов.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  3.

а)  Пусть в школе № 1 пи­са­ли тест два уча­щих­ся, один из них на­брал 1 балл, а вто­рой на­брал 19 бал­лов и перешёл в школу № 2. Тогда сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся в 10 раз.

б)  Пусть в школе № 2 пи­са­ли тест m уча­щих­ся, сред­ний балл рав­нял­ся B, а про­шед­ший в неё уча­щий­ся на­брал u бал­лов. Тогда по­лу­ча­ем:

Если B  =  7, то не де­лит­ся на 10, а 10u де­лит­ся на 10. Но это не­воз­мож­но, по­сколь­ку

в)  Пусть в школе № 1 сред­ний балл рав­нял­ся A. Тогда по­лу­ча­ем:

За­ме­тим, что если B  =  1 или B  =  3, то не де­лит­ся на 10. Если B  =  2 или B  =  4, то m  =  4. В пер­вом слу­чае 14A  =  10, а во вто­ром 14A  =  20. Зна­чит,ни один из этих слу­ча­ев не воз­мо­жен.

При B  =  5 и m  =  3 по­лу­ча­ем u  =  3 и A  =  2. Этот слу­чай ре­а­ли­зу­ет­ся, на­при­мер, если в школе № 1 пи­са­ли тест 6 уча­щих­ся, 3 из них на­бра­ли по 1 баллу, а 3  — по 3 балла, в школе № 2 пи­са­ли тест 3 уча­щих­ся и каж­дый на­брал по 5 бал­лов, а у пе­ре­шед­ше­го из одной школы в дру­гую уча­ще­го­ся 3 балла.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  5.

а)  Пусть в школе № 1 пи­са­ли тест два уча­щих­ся, один из них на­брал 1 балл, а вто­рой на­брал 3 балла и перешёл в школу № 2. Тогда сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся в 2 раза.

б)  Пусть в школе № 2 пи­са­ли тест m уча­щих­ся, сред­ний балл рав­нял­ся B, а пе­ре­шед­ший в неё уча­щий­ся на­брал u бал­лов. Тогда по­лу­ча­ем:

Если B  =  9, то не де­лит­ся на 50, а 50u де­лит­ся на 50. Но это не­воз­мож­но, по­сколь­ку

в)  Пусть в школе № 1 сред­ний балл рав­нял­ся A. Тогда по­лу­ча­ем:

За­ме­тим, что если B  =  1 или B  =  3, то не де­лит­ся на 50. Если B  =  5, то m  =  9, m  =  19, m  =  29 и m  =  39. Тогда со­от­вет­ствен­но по­лу­ча­ем: 90A  =  200, 80A  =  150, 70A  =  100, 60A  =  50. Ни один из этих слу­ча­ев не воз­мо­жен. Если B  =  2 или B  =  4, то m  =  24. В пер­вом слу­чае 75A  =  50, а во вто­ром 75A  =  100. Зна­чит, ни один из этих слу­ча­ев не воз­мо­жен.

При B  =  6 и m  =  24 по­лу­ча­ем u  =  3 и A  =  2. Этот слу­чай ре­а­ли­зу­ет­ся, на­при­мер, если в школе № 1 пи­са­ли тест 26 уча­щих­ся, 13 из них на­бра­ли по 1 баллу, а 13  — по 3 балла, в школе № 2 пи­са­ли тест 24 уча­щих­ся и каж­дый на­брал по 6 бал­лов, а у пе­ре­шед­ше­го из одной школы в дру­гую уча­ще­го­ся 3 балла.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  6.

а)  Пусть в школе № 1 пи­са­ли тест n уча­щих­ся, а сред­ний балл был равен А. Тогда сум­мар­ный балл всех уча­щих­ся этой школы рав­нял­ся nA. После пе­ре­хо­да уча­ще­го­ся в школу № 2 сред­ний балл вырос в два раза, то есть стал равен 2A, а ко­ли­че­ство уча­щих­ся стало Тогда сум­мар­ный балл после пе­ре­хо­да уча­ще­го­ся стал равен Таким об­ра­зом, сум­мар­ный балл умень­шил­ся на что не­воз­мож­но, по­сколь­ку пе­ре­шед­ший уча­щий­ся на­брал по­ло­жи­тель­ное ко­ли­че­ство бал­лов, а

б)  Пусть в школе № 2 сред­ний балл рав­нял­ся В, а пе­ре­шед­ший в нее уча­щий­ся на­брал u бал­лов. Тогда по­лу­ча­ем:

или

Если то по­сколь­ку число долж­но де­лить­ся на 5, а не долж­но быть от­ри­ца­тель­ным. По­лу­ча­ем что не­воз­мож­но, по­сколь­ку A целое.

в)  За­ме­тим, что если или то В пер­вом сл­ку­чае а во вто­ром Зна­чит, ни один из этих слу­чае не воз­мо­жен.

При по­лу­ча­ем от­ку­да Этот слу­чай ре­а­ли­зу­ет­ся, на­при­мер, если в школе № 1 пи­са­ли тест 2 уча­щих­ся и на­бра­ли 102 и 68 бал­лов, а в школе № 2 пи­са­ли тест 79 уча­щих­ся и каж­дый на­брал по 4 балла, а у пе­ре­шед­ше­го из одной школы в дру­гую уча­ще­го­ся 68 бал­лов.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.