Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 520920

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писали 50 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 2 раза?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 2%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 2%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 9?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 2%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 2%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть в школе № 1 писали тест два учащихся, один из них набрал 1 балл, а второй набрал 3 балла и перешёл в школу № 2. Тогда средний балл в школе № 1 уменьшился в 2 раза.

б) Пусть в школе № 2 писали тест m учащихся, средний балл равнялся B, а перешедший в неё учащийся набрал u баллов. Тогда получаем:

u=0,98 левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка B минус mB;50u= левая круглая скобка 49 минус m правая круглая скобка B.
Если B = 9, то  левая круглая скобка 49 минус m правая круглая скобка B не делится на 50, а 50u делится на 50. Но это невозможно, поскольку 50u= левая круглая скобка 49 минус m правая круглая скобка B.

в) Пусть в школе № 1 средний балл равнялся A. Тогда получаем:

u= левая круглая скобка 50 минус m правая круглая скобка A минус 0,98 левая круглая скобка 49 минус m правая круглая скобка A;50u= левая круглая скобка 99 минус m правая круглая скобка A= левая круглая скобка 49 минус m правая круглая скобка B.
Заметим, что если B = 1 или B = 3, то 50u= левая круглая скобка 49 минус m правая круглая скобка B не делится на 50. Если B = 5, то m = 9, m = 19, m = 29 и m = 39. Тогда соответственно получаем: 90A = 200, 80A = 150, 70A = 100, 60A = 50. Ни один из этих случаев не возможен. Если B = 2 или B = 4, то m = 24. В первом случае 75A = 50, а во втором 75A = 100. Значит,ни один из этих случаев не возможен.

При B = 6 и m = 24 получаем u = 3 и A = 2. Этот случай реализуется, например, если в школе № 1 писали тест 26 учащихся, 13 из них набрали по 1 баллу, а 13 — по 3 баллов, в школе № 2 писали тест 24 учащихся и каждый набрал по 6 баллов, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 3 балла.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 520808: 520884 520920 520858 Все

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 314 (C часть)., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018
Классификатор алгебры: Числа и их свойства