РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 656199 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 459

Классификатор алгебры: Числовые наборы на карточках и досках

Числа и их свойства. Числовые наборы на карточках и досках

Николай Сергеевич написал на доске 15 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое восьми наименьших из них равно 7. Среднее арифметическое восьми наибольших равняется 20.

а)  Может ли наименьшее из этих 15 чисел равняться 5?

б)  Может ли среднее арифметическое всех 15 чисел равняться 13?

в)  Пусть k  — восьмое по величине число, m  — среднее арифметическое всех чисел. Найдите наибольшее значение $m минус k.$

Решение. Пусть сумма семи наименьших чисел равна a, восьмое число равно b, сумма семи наибольших равна c. Тогда по условию $дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 8 конец дроби = 7,$ откуда $a плюс b = 56.$ Аналогично $b плюс c = 160.$

а)  Если наименьшее из числе равно 5, то сумма семи наименьших как минимум

$5 плюс 6 плюс 7 плюс 8 плюс 9 плюс 10 плюс 11 = 56$

и тогда $c = 0,$ что невозможно.

б)  Если среднее арифметическое всех чисел равно 13, то их сумма равна $15 умножить на 13 = 195,$ откуда

$b = левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b плюс c правая круглая скобка минус левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка = 56 плюс 160 минус 195 = 21.$

Но тогда сумма семи наибольших чисел не меньше

$22 плюс 23 плюс \ldots плюс 28 = 175 больше 160,$

что невозможно.

в)  Заметим, что

$m минус k = дробь: числитель: a плюс b плюс c, знаменатель: 15 конец дроби минус b = дробь: числитель: a плюс b плюс b плюс c, знаменатель: 15 конец дроби минус b минус дробь: числитель: b, знаменатель: 15 конец дроби = дробь: числитель: 56 плюс 160, знаменатель: 15 конец дроби минус b минус дробь: числитель: b, знаменатель: 15 конец дроби = дробь: числитель: 72, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 16, знаменатель: 15 конец дроби b.$ $m минус k = дробь: числитель: a плюс b плюс c, знаменатель: 15 конец дроби минус b = дробь: числитель: a плюс b плюс b плюс c, знаменатель: 15 конец дроби минус b минус дробь: числитель: b, знаменатель: 15 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 56 плюс 160, знаменатель: 15 конец дроби минус b минус дробь: числитель: b, знаменатель: 15 конец дроби = дробь: числитель: 72, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 16, знаменатель: 15 конец дроби b.$

Поэтому нужно сделать b как можно меньше. При этом

$56 = a плюс b меньше или равно b плюс левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка b минус 7 правая круглая скобка = 8b минус 28,$

откуда

$84 меньше или равно 8b,$

$b больше или равно 10,5,$

$b больше или равно 11.$

Сделать $b = 11$ можно, взяв, например, набор 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 62. Для него получим

$дробь: числитель: 72, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 16, знаменатель: 15 конец дроби b = дробь: числитель: 72, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 176, знаменатель: 15 конец дроби = дробь: числитель: 40, знаменатель: 15 конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а)  нет; б)  нет; в) $дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  нет; б)  нет; в) $дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$

656199

а)  нет; б)  нет; в) $дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 459

Классификатор алгебры: Числовые наборы на карточках и досках

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	656199	а)  нет; б)  нет; в) $дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$