PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение 
где x, y и z — положительные числа.
Решение. Для положительных x, y и z, получаем:
Определим множество значений правой части полученного равенства. Преобразуем полученное выражение:
тогда
откуда
По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим получаем:
а потому:
Неравенства о средних обращаются в равенства в случае равенства переменных. Поэтому при 
достигается значение 
Покажем, что а сколь угодно близко приближается к единице. Зафиксируем значения переменных y и z, вычислим предел при х, стремящимся к бесконечности. При фиксированных значениях y и z функция а(х) является дробно-рациональной, причем числитель — линейный двучлен по переменной х, а знаменатель — квадратный трехчлен. Следовательно,
Таким образом, при 
исходное неравенство имеет хотя бы одно решение где x, y и z — положительные числа.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |