PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет ровно три различных решения.
Решение. Уравнение равносильно совокупности:
Заметим, что если число x0 является корнем уравнения (1), то все числа 
тоже являются корнями этого уравнения. Значит, исходное уравнение имеет ровно три различных корня, тогда и только тогда, когда уравнение (1) не имеет корней, а уравнение (2) имеет ровно три различных корня.
Преобразуем уравнение (1):
Полученное уравнение не имеет решений при
Уравнение (2) запишем в виде
Рассмотрим функцию 
определенную на множестве действительных чисел, и исследуем её. Поведение на бесконечности:
Найдем производную, отметим на рисунке промежутки монотонности функции, определим значения в точках экстремума:
Тогда уравнение (2) имеет ровно три различных корня при
Значит, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |