а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Все грани приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁  — рав­ные ромбы со сто­ро­ной, рав­ной 2. Плос­кие углы при вер­ши­не А равны 60° каж­дый. Через се­ре­ди­ну диа­го­на­ли A₁C про­ве­де­на плос­кость α, пер­пен­ди­ку­ляр­ная этой диа­го­на­ли.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью α  — квад­рат.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до плос­ко­сти α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Име­ют­ся три спла­ва, в со­став ко­то­рых вхо­дят ме­тал­лы А, В и С. Пер­вый сплав со­дер­жит 20% ме­тал­ла А, 30% ме­тал­ла В, 50% ме­тал­ла С. Вто­рой сплав со­дер­жит 50% ме­тал­ла А, 20% ме­тал­ла В, 30% ме­тал­ла С. Тре­тий сплав со­дер­жит 30% ме­тал­ла А, 40% ме­тал­ла В, 30% ме­тал­ла С. Сколь­ко ки­ло­грам­мов каж­до­го спла­ва нужно взять, чтобы по­лу­чить 10 кг но­во­го спла­ва, ко­то­рый со­дер­жал бы 25% ме­тал­ла А, а про­цент­ное со­дер­жа­ние ме­тал­ла В было бы ми­ни­маль­но воз­мож­ным?

В тре­уголь­ни­ке MNK из­вест­но, что: и В тре­уголь­ник MNK впи­сан квад­рат, две вер­ши­ны ко­то­ро­го лежат на сто­ро­не MN, одна на сто­ро­не NK и одна на сто­ро­не MK. Через се­ре­ди­ну сто­ро­ны MN и центр квад­ра­та про­ве­де­на пря­мая, ко­то­рая пре­се­ка­ет­ся с вы­со­той KH в точке O, а с пря­мой NK  — в точке F.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те FK.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно три раз­лич­ных ре­ше­ния.

Мно­же­ство, со­сто­я­щее из 20 пер­вых на­ту­раль­ных чисел, раз­би­ва­ют про­из­воль­ным об­ра­зом на два под­мно­же­ства по 10 чисел в каж­дом. Про­из­ве­де­ния всех чисел в этих под­мно­же­ствах обо­зна­чим через M и N.

а)  Может ли быть

б)  Какие наи­боль­шее и наи­мень­шее целые зна­че­ния может иметь част­ное

в)  Сколь­ко всего раз­лич­ных целых зна­че­ний может иметь част­ное