Все грани призмы ABCDA1B1C1D1 — равные ромбы со стороной, равной 2. Плоские углы при вершине А равны 60° каждый. Через середину диагонали A1C проведена плоскость α, перпендикулярная этой диагонали.
а) Докажите, что сечение призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью α — квадрат.
б) Найдите расстояние от точки А до плоскости α.
а) Заметим, что каждая грань призмы составлена из двух равносторонних треугольников. Из вершины A1 опустим перпендикуляр A1H на ребро AB. В силу симметрии G — проекция A1 на грань ABCD будет лежать на ее диагонали AC. Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, GH перпендикулярна AB. Заметим, что AG = 2GH, как гипотенуза и катет прямоугольного треугольника с углом 30°, тогда 
откуда
Заметим, что
следовательно, треугольник ACA1 — прямоугольный, боковые ребра AA1, BB1, CC1 и DD1 перпендикулярны диагонали призмы A1C. Кроме того, по теореме о трех перпендикулярах, прямая A1C перпендикулярна диагоналям оснований призмы BD и B1D1.
Таким образом, плоскость BDD1B1 перпендикулярна диагонали A1C. В силу симметрии призмы эта плоскость проходит через середину указанной диагонали, то есть совпадает с плоскостью α, и, следовательно, четырехугольник BDD1B1 является искомым сечением. Заметим, что указанная фигура — ромб с равными (в силу симметрии) диагоналями, а следовательно, квадрат.
б) Из п. а) следует, что прямая AA1 параллельна плоскости α, то есть расстояния до нее от точек A и A1 равны, а расстояние до нее от точки A1 равно половине диагонали A1C, то есть 
Ответ: б)