Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 656542
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние |\ctg в квад­ра­те 2 x плюс 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус \ctg 2 x конец ар­гу­мен­та минус 3| = |\ctg в квад­ра­те 2 x минус 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус \ctg 2 x конец ар­гу­мен­та минус 3 |.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Сде­ла­ем за­ме­ну t = минус \ctg 2x, за­ме­тим, что долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие t боль­ше или равно 0. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние при этом усло­вии:

|t в квад­ра­те плюс 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та минус 3|=|t в квад­ра­те минус 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та минус 3| рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t в квад­ра­те плюс 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та минус 3=t в квад­ра­те минус 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та минус 3, t в квад­ра­те плюс 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та минус 3= минус t в квад­ра­те плюс 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та плюс 3 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та =0, t в квад­ра­те =3 конец со­во­куп­но­сти . \underset t боль­ше или равно 0 \mathop рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t=0, t= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . конец со­во­куп­но­сти .

Тогда

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний \ctg 2x=0, \ctg 2x= минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, 2x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти .k при­над­ле­жит Z .

б)  Для от­бо­ра кор­ней вос­поль­зу­ем­ся три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­стью (см. рис.). Под­хо­дят корни: минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 460
Классификатор алгебры: Урав­не­ния сме­шан­но­го типа, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на тан­генс или ко­тан­генс
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025