Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В треугольнике MNK известно, что: 
и 
В треугольник MNK вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне MN, одна на стороне NK и одна на стороне MK. Через середину стороны MN и центр квадрата проведена прямая, которая пресекается с высотой KH в точке O, а с прямой NK — в точке F.
а) Докажите, что 
б) Найдите FK.
Решение.
Спрятать критерии
а) Пусть точка P — середина MN, ABCD — квадрат, точка T — центр квадрата, и пусть сторона квадрата равна x. Заметим, что 
Из подобия треугольников MNK и DCK получаем, что
Находим:
Пусть TT1 — перпендикуляр, проведенный к MN. Имеем:
Тогда
а потому 
б) По теореме Менелая для треугольника NKH получаем: 
откуда
Таким образом, 
Ответ: б) 
Методы геометрии: Свойства высот, Теорема Менелая
Классификатор планиметрии: Подобие, Комбинации фигур