PDF-версии: 
Множество, состоящее из 20 первых натуральных чисел, разбивают произвольным образом на два подмножества по 10 чисел в каждом. Произведения всех чисел в этих подмножествах обозначим через M и N.
а) Может ли быть 
б) Какие наибольшее и наименьшее целые значения может иметь частное 
в) Сколько всего различных целых значений может иметь частное
Решение. а) Очевидно, что число 19 войдет только в одно из подмножеств, поэтому одно из чисел M и N будет кратно 19, а второе не будет. Значит, они не равны.
б, в) Заметим, что
В разложение M каждое простое должно входить не в меньшей степени, чем в разложение N Следовательно, числа 11, 13, 17, 19 точно входят в M, а еще в него входят 6 чисел, произведение которых кратно 
то есть два числа, кратных 5, и еще одно, кратное 7 (чисел кратных одновременно 5 и 7 или кратных 52 у нас нет). В эти числа могут входить еще максимум 
множителя, равных 2 или 3 (если это числа 20, 
и 14). Поэтому остальные минимум 
таких множителей берутся из остальных трех чисел.
Если еще хоть одно из чисел кратно 5 или 7, то оно дает максимум один лишний такой множитель, и на долю остальных двух чисел их остается 8. Но среди этих чисел есть лишь один, содержащий четыре множителя 
и ни одного, содержащего больше множителей. Значит, такое невозможно.
Итак, оставшиеся три числа должны дать минимум 9 таких множителей. Есть одно число с четырьмя множителями и три числа (8, 12, 18) — с тремя. Тогда этих множителей в числителе будет не более 
Таким образом, числитель будет содержать множители 11, 13, 17, 19 (останутся), 
(сократятся со знаменателем), и то ли 13 то ли 14 множителей, равных 2 и 3.
Если множителей 13, то они сократятся полностью, а если их 14, то после сокращения в числителе останется либо 22, либо 32. Значит, частное теоретически может быть равно
Докажем, что вариант с 
невозможен. В самом деле, для этого в числителе нужно набрать 5 множителей 3. Среди чисел, кратных 5 или 7, такой множитель максимум один (если взять 15). Значит, среди остальных трех чисел этих множителей нужно минимум 4. При общем количестве множителей 2 и 3 среди этих чисел не меньше 10. Поэтому обязательно нужно взять число 16 и два числа из набора 8, 12, 18. Но среди них не получается выбрать четыре множителя 3. Осталось привести примеры для последних двух вариантов.
Для первого варианта:
Для второго варианта:
Ответ: а) нет; б) 46 189 и 184 756; в) 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |