РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 657010 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 461

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности

Неравенства. Другие неравенства смешанного типа

Решите неравенство: $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате минус 4 x правая круглая скобка больше или равно 2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби синус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$

Решение. Оценим значение левой части неравенства:

$логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате минус 4 x правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 5 минус x в квадрате минус 4 x минус 4 правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 5 минус левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 5 5=1.$ $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате минус 4 x правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 5 минус x в квадрате минус 4 x минус 4 правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 5 минус левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 5 5=1.$

Равенство достигается при $x= минус 2.$ Оценим значение правой части неравенства:

$минус 1 меньше или равно синус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно 1 равносильно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби синус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби \Rightarrow косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби синус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби синус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка больше или равно 1.$ $минус 1 меньше или равно синус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно 1 равносильно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби синус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби синус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби синус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка больше или равно 1.$

Левая часть неравенства не больше 1, а правая не меньше 1, значит, исходное неравенство равносильно уравнению

$логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате минус 4 x правая круглая скобка = 2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби синус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка ,$

единственным корнем которого может быть число −2. Проверкой убеждаемся, что число −2 является корнем:

$логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 1 минус левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка = 2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби синус дробь: числитель: минус 2 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка$   —  верно.

Ответ: −2.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: −2.

657010

−2.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 461

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	657010	−2.