PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно два различных решения.
Решение. Преобразуем систему:
Обозначив 
и 
получим равносильную систему с таким же количеством решений, так как u и υ суть линейные выражения. Тогда:
На последнем шаге мы воспользовались тем, что 
и 
поскольку произведение этих величин равно 3.
Обозначим 
получим: 
Чтобы найти, при каких значениях параметра исходная система имеет ровно два различных решения, нужно найти, при каких a последнее уравнение имеет единственное решение.
Решим эту часть графическим методом. График функции 
известен, наименьшее значений этой функции при 
равно 2. График функции 
получается из него растяжением в 9 раз вдоль оси ординат (см. рис.). Поэтому 
Прямая 
имеет единственное пересечение с этим графиком при 
Таким образом,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |