PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
Решение. Преобразуем уравнение:
Рассмотрим функцию 
где 
Функция 
является возрастающей как произведение двух положительных возрастающих функций. Тогда уравнение 
равносильно уравнению
Каждое из уравнений совокупности имеет не более двух корней. Тогда система может иметь три корня в следующих случаях: 1) одно из уравнений имеет единственный корень, несовпадающий с корнями другого уравнения; 2) каждое уравнение имеет по два корня, один из которых является корнем обоих уравнений.
Первое уравнение совокупности при 
не имеет корней, при 
имеет один корень, при 
имеет два корня. Дискриминант второго уравнения совокупности равен 
При 
оно не имеет корней, при 
имеет один корень, при 
имеет два корня.
При первое уравнение имеет корень 
а второе — корни 
и 
При первое уравнение имеет корни 
и 
а второе — корень 
При 
каждое из уравнений имеет два различных корня. Совпадающие корни найдём из условия
При 
первое уравнение имеет корни 
и 
а второе — корни 
и 
Таким образом, уравнение имеет ровно три различных корня при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |