а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ точка M  — се­ре­ди­на ребра D₁C₁, а на реб­рах AA₁ и CC₁ от­ме­че­ны точки Q и N так, что и Через точки M и N про­ве­де­на плос­кость α па­рал­лель­но пря­мой CQ.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ну B.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость делит объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Стро­и­тель­ство но­во­го за­во­да стоит 376 млн руб. За­тра­ты на про­из­вод­ство x тыс. еди­ниц про­дук­ции на таком за­во­де равны млн руб. в год. Если про­дук­цию за­во­да про­дать по цене p тыс. руб. за еди­ни­цу, то при­быль фирмы (в млн руб.) за один год со­ста­вит Когда завод будет по­стро­ен, каж­дый год фирма будет вы­пус­кать про­дук­цию в таком ко­ли­че­стве, чтобы го­до­вая при­быль была наи­боль­шей. В пер­вый год после по­строй­ки за­во­да цена про­дук­ции p  =  14 тыс. руб. за еди­ни­цу. Каж­дый сле­ду­ю­щий год цена про­дук­ции уве­ли­чи­ва­ет­ся на 1 тыс. руб. за еди­ни­цу. За сколь­ко лет оку­пит­ся стро­и­тель­ство за­во­да?

В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AOB и COD равна сумме пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BOC и AOD, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка BOC вдвое боль­ше, чем пло­щадь тре­уголь­ни­ка АОВ. Ме­ди­а­ны BK и BL тре­уголь­ни­ков ABD и DBC пе­ре­се­ка­ют от­ре­зок AC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Найти KL, если

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно три раз­лич­ных корня.

Ше­сти­знач­ное число, в де­ся­тич­ной за­пи­си ко­то­ро­го при­сут­ству­ют по од­но­му разу цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, будем на­зы­вать хо­ро­шим.

а)  Может ли хо­ро­шее число быть про­стым?

б)  Может ли хо­ро­шее число иметь на­ту­раль­ных 63 де­ли­те­ля?

в)  Может ли хо­ро­шее число де­лить­ся на 11?

г)  Сколь­ко хо­ро­ших чисел де­лит­ся на 12?