Ре­ше­ние.

а)  Пусть AB  =  a, AD  =  b и AA₁  =  c. До­ка­жем, что точка B при­над­ле­жит ис­ко­мо­му се­че­нию. Через точку N про­ве­дем пря­мую NP, па­рал­лель­ную пря­мой CQ, точка P лежит на AA₁. Пусть плос­кость α пе­ре­се­ка­ет плос­кость ABB₁ по пря­мой  l, ко­то­рая долж­на быть па­рал­лель­на пря­мой MN. Пря­мая  l пе­ре­се­ка­ет пря­мую AA₁ в точке P. Пусть пря­мая  l пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в не­ко­то­рой точке X. Углы APX и MNC₁ равны как углы между па­ра­ми па­рал­лель­ных пря­мых PX, MN и СС₁, AA₁. Вы­ра­зим тан­генс угла MNC₁:

За­ме­тим, что

от­ку­да AX  =  a. Сле­до­ва­тель­но, точка X сов­па­да­ет с точ­кой B, а зна­чит, плос­кость α про­хо­дит через точку B.

 

б)  По­стро­им се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью α. Про­ве­дем от­ре­зок BN и па­рал­лель­ный ему от­ре­зок TP в грани ADD₁A₁, где точка  T лежит на ребре A₁D₁; про­ве­дем от­ре­зок MT. Мно­го­уголь­ник MNBPT яв­ля­ет­ся ис­ко­мым се­че­ни­ем. Пусть E и K  — точки пе­ре­се­че­ния пря­мой MT с реб­ра­ми A₁B₁ и B₁C₁, со­от­вет­ствен­но. Най­дем объем мно­го­гран­ни­ка, от­се­ка­е­мо­го от па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью α и со­дер­жа­ще­го вер­ши­ну B₁:

Тре­уголь­ни­ки BB₁E и PA₁E по­доб­ны по двум углам, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен от­ку­да также по­доб­ны тре­уголь­ни­ки BB₁K и NC₁K, от­ку­да Сле­до­ва­тель­но,

Тре­уголь­ни­ки PA₁T и BCN по­доб­ны по двум углам, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен от­ку­да Вы­чис­лим объ­е­мы двух остав­ших­ся пи­ра­мид:

Таким об­ра­зом,

Сле­до­ва­тель­но, плос­кость делит объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ в от­но­ше­нии

 

Ответ: б)