PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка M — середина ребра D1C1, а на ребрах AA1 и CC1 отмечены точки Q и N так, что 
и 
Через точки M и N проведена плоскость α параллельно прямой CQ.
а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину B.
б) Найдите отношение, в котором плоскость 
делит объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
Решение. а) Пусть AB = a, AD = b и AA1 = c. Докажем, что точка B принадлежит искомому сечению. Через точку N проведем прямую NP, параллельную прямой CQ, точка P лежит на AA1. Пусть плоскость α пересекает плоскость ABB1 по прямой l, которая должна быть параллельна прямой MN. Прямая l пересекает прямую AA1 в точке P. Пусть прямая l пересекает прямую AB в некоторой точке X. Углы APX и MNC1 равны как углы между парами параллельных прямых PX, MN и СС1, AA1. Выразим тангенс угла MNC1:
Заметим, что
б) Построим сечение параллелепипеда плоскостью α. Проведем отрезок BN и параллельный ему отрезок TP в грани ADD1A1, где точка T лежит на ребре A1D1; проведем отрезок MT. Многоугольник MNBPT является искомым сечением. Пусть E и K — точки пересечения прямой MT с ребрами A1B1 и B1C1, соответственно. Найдем объем многогранника, отсекаемого от параллелепипеда плоскостью α и содержащего вершину B1:
Треугольники BB1E и PA1E подобны по двум углам, коэффициент подобия равен 
откуда 
также подобны треугольники BB1K и NC1K, откуда 
Следовательно,
Треугольники PA1T и BCN подобны по двум углам, коэффициент подобия равен 
откуда 
Вычислим объемы двух оставшихся пирамид:
Таким образом,
Следовательно, плоскость делит объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 в отношении 
Ответ: б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |