Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 657469
i

Стро­и­тель­ство но­во­го за­во­да стоит 376 млн руб. За­тра­ты на про­из­вод­ство x тыс. еди­ниц про­дук­ции на таком за­во­де равны 0,5 x в квад­ра­те плюс x плюс 12 млн руб. в год. Если про­дук­цию за­во­да про­дать по цене p тыс. руб. за еди­ни­цу, то при­быль фирмы (в млн руб.) за один год со­ста­вит p x минус левая круг­лая скоб­ка 0,5 x в квад­ра­те плюс x плюс 12 пра­вая круг­лая скоб­ка . Когда завод будет по­стро­ен, каж­дый год фирма будет вы­пус­кать про­дук­цию в таком ко­ли­че­стве, чтобы го­до­вая при­быль была наи­боль­шей. В пер­вый год после по­строй­ки за­во­да цена про­дук­ции p  =  14 тыс. руб. за еди­ни­цу. Каж­дый сле­ду­ю­щий год цена про­дук­ции уве­ли­чи­ва­ет­ся на 1 тыс. руб. за еди­ни­цу. За сколь­ко лет оку­пит­ся стро­и­тель­ство за­во­да?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем наи­боль­шее зна­че­ние при­бы­ли, то есть наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =px минус левая круг­лая скоб­ка 0,5x в квад­ра­те плюс x плюс 12 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 0,5x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус 12,

где p боль­ше или равно 14 и x боль­ше 0. Квад­ра­тич­ная функ­ция с от­ри­ца­тель­ным ко­эф­фи­ци­ен­том при стар­шем члене до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке

x_0 = минус дробь: чис­ли­тель: p минус 1, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = p минус 1 .

Най­дем это зна­че­ние:

f левая круг­лая скоб­ка x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс левая круг­лая скоб­ка p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 12= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 12 .

Под­счи­та­ем при­быль за­во­да, по­сле­до­ва­тель­но пе­ре­би­рая зна­че­ния p при усло­вии p боль­ше или равно 14, вне­сем дан­ные в таб­ли­цу.

 

Год после
по­строй­ки
за­во­да		Зна­че­ние pСумма при­бы­ли за год
(в млн руб.)		Сумма при­бы­ли с 1-го года
функ­ци­о­ни­ро­ва­ния за­во­да
(в млн руб.)
114 дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 14 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 12= дробь: чис­ли­тель: 169, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 12=72,572,5
215 дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 15 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 12= дробь: чис­ли­тель: 196, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 12=8672,5 + 86  =  158,5
316 дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 16 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 12= дробь: чис­ли­тель: 225, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 12=100,5158,5 + 100,5  =  259
417 дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 17 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 12= дробь: чис­ли­тель: 256, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 12=116259 + 116  =  375

 

При­быль каж­дый год уве­ли­чи­ва­ет­ся, зна­чит, в пятый год при­быль будет боль­ше 116 млн руб., и сум­мар­ная при­быль пре­вы­сит 375 + 116  =  491 млн руб., что боль­ше 376 млн руб. Таким об­ра­зом, при­быль пре­вы­сит за­тра­ты на стро­и­тель­ство через 5 лет.

 

Ответ: 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 657469: 674835 677083 Все

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 462
Классификатор алгебры: За­да­чи на оп­ти­маль­ный выбор
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025