В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Сумма площадей треугольников AOB и COD равна сумме площадей треугольников BOC и AOD, а площадь треугольника BOC вдвое больше, чем площадь треугольника АОВ. Медианы BK и BL треугольников ABD и DBC пересекают отрезок AC в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что 
б) Найти KL, если 
а) Пусть
По условию 
Кроме того,
Пусть далее 
и 
значит, S1 и S3 — корни уравнения 
Корнями этого же уравнения являются S2 и S4, откуда следует, что 
или 
Из условия 
получаем 
следовательно, отрезок AO является медианой треугольника ABD.
б) Из пункта а) следует, что отрезок AO — медиана треугольника ABD, отрезок CO — медиана треугольника BСD, откуда
Заметим, что 
тогда
откуда получаем, что 
и 
поэтому
откуда находим: 
Ответ: б) 