Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 657466
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние 16 ко­си­нус в сте­пе­ни 4 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 6 синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = 3 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 12 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­си­нус 3 x.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 14 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние, ис­поль­зуя фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го угла:

16 ко­си­нус в сте­пе­ни 4 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 6 синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = 3 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 12 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­си­нус 3 x рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 16 ко­си­нус в сте­пе­ни 4 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 6 левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 3 левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 12 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­си­нус 3 x рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 16 ко­си­нус в сте­пе­ни 4 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 12 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 9 = 12 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­си­нус 3 x рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 16 ко­си­нус в сте­пе­ни 4 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 24 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 9 = 12 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­си­нус 3 x минус 12 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 4 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 12 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 3 x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

За­ме­тим, что левая часть урав­не­ния не­от­ри­ца­тель­на, а пра­вая не­по­ло­жи­тель­на, сле­до­ва­тель­но, ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся толь­ко в том слу­чае, когда обе части урав­не­ния од­но­вре­мен­но равны нулю. По­лу­ча­ем:

си­сте­ма вы­ра­же­ний 4 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 3=0, 12 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 3 x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =0, ко­си­нус 3 x минус 1=0 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =\pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , ко­си­нус 3 x= 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k, 3 x= 2 Пи n, конец си­сте­мы . k, n при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x =\pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k, x= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи n, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , конец си­сте­мы . k, n при­над­ле­жит Z

от­ку­да сле­ду­ет, что x =\pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­ных не­ра­венств:

минус дробь: чис­ли­тель: 14 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k мень­ше или равно Пи рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше 4 k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний k= минус 1, k=0. конец со­во­куп­но­сти . .

Най­ден­ным зна­че­ни­ям k со­от­вет­ству­ют корни минус дробь: чис­ли­тель: 10 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Рас­смот­рим вто­рую серию:

минус дробь: чис­ли­тель: 14 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k мень­ше или равно Пи рав­но­силь­но минус 4 мень­ше 4 k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но минус 1 мень­ше k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби рав­но­силь­но k=0.

Най­ден­но­му зна­че­нию k со­от­вет­ству­ет ко­рень минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: 10 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 462
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025