РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 658424 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 463

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 625 x правая круглая скобка 25 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 5 в квадрате левая круглая скобка 25 x правая круглая скобка меньше или равно 2.$

Решение. Перейдём к логарифмам по основанию 5:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 625 x правая круглая скобка 25 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 5 в квадрате левая круглая скобка 25 x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 5 25, знаменатель: логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 625x правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 25x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 5 в степени ц елая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: 4 плюс логарифм по основанию 5 x конец дроби умножить на дробь: числитель: левая круглая скобка 2 плюс логарифм по основанию 5 x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 1 конец дроби меньше или равно 2 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 плюс логарифм по основанию 5 x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 4 плюс логарифм по основанию 5 x конец дроби меньше или равно 1$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 625 x правая круглая скобка 25 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 5 в квадрате левая круглая скобка 25 x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 5 25, знаменатель: логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 625x правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 25x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 5 в степени ц елая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: 4 плюс логарифм по основанию 5 x конец дроби умножить на дробь: числитель: левая круглая скобка 2 плюс логарифм по основанию 5 x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 1 конец дроби меньше или равно 2 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 плюс логарифм по основанию 5 x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 4 плюс логарифм по основанию 5 x конец дроби меньше или равно 1$

Пусть $логарифм по основанию 5 x=t,$ тогда

$дробь: числитель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 4 плюс t конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: t в квадрате плюс 4t плюс 4 минус 4 минус t, знаменатель: 4 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате плюс 3t, знаменатель: 4 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус 4, минус 3 меньше или равно t меньше или равно 0. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений логарифм по основанию 5 x меньше минус 4, минус 3 меньше или равно логарифм по основанию 5 x меньше или равно 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 5 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка , 5 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка меньше или равно x меньше или равно 5 в степени 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 625 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби меньше или равно x меньше или равно 1. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 625 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби ; 1 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

658424

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 625 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби ; 1 правая квадратная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 463

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	658424	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 625 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби ; 1 правая квадратная скобка .$