а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На бо­ко­вом ребре FD пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды FABCD от­ме­че­на точка M так, что FM : FD  =  2 : 5. Точки P и Q  — се­ре­ди­ны ребер AD и BC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью MPQ есть рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость MPQ раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

20 мая 2024 года пред­при­я­тие пла­ни­ру­ет взять в кре­дит S мил­ли­о­нов руб­лей на 4 года, где S  — целое число. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый июнь долг воз­рас­та­ет на 24% по срав­не­нию со зна­че­ни­ем в конце мая;

—  с сен­тяб­ря по де­кабрь не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  20 мая каж­до­го года, по­сле­ду­ю­ще­го за годом по­лу­че­ния кре­ди­та, долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей:

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром сумма наи­боль­шей и наи­мень­шей вы­плат не мень­ше 300 мил­ли­о­нов руб­лей.

В тре­уголь­ни­ке FGH угол G пря­мой, Точка D лежит на сто­ро­не FH, A и B  — точки пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ков FGD и DGH со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка GAB.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет не менее 7 кор­ней, яв­ля­ю­щих­ся на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми.

На доске на­пи­са­ны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход раз­ре­ша­ет­ся сте­реть про­из­воль­ные три числа, сумма ко­то­рых мень­ше 35 и от­лич­на от каж­дой из сумм троек чисел, стёртых на преды­ду­щих ходах.

а)  При­ве­ди­те при­мер по­сле­до­ва­тель­ных 5 ходов.

б)  Можно ли сде­лать 10 ходов?

в)  Какое наи­боль­шее число ходов можно сде­лать?