Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 658427
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

a в квад­ра­те |x плюс a в кубе | плюс |a в квад­ра­те x минус 1| = 1 плюс a в сте­пе­ни 5

имеет не менее 7 кор­ней, яв­ля­ю­щих­ся на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вне­сем со­мно­жи­тель a в квад­ра­те под знак мо­ду­ля, по­лу­чим:

|a в квад­ра­те x плюс a в сте­пе­ни 5 | плюс |a в квад­ра­те x минус 1| = a в сте­пе­ни 5 плюс 1.

Пра­вая часть урав­не­ния равна раз­но­сти вы­ра­же­ний, сто­я­щих под зна­ком мо­ду­ля. По­сколь­ку

|x| плюс |y| = x минус y рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше или равно 0, y мень­ше или равно 0, конец си­сте­мы .

за­клю­ча­ем, что урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме не­ра­венств

си­сте­ма вы­ра­же­ний a в квад­ра­те x плюс a в сте­пе­ни 5 боль­ше или равно 0, a в квад­ра­те x минус 1 мень­ше или равно 0. конец си­сте­мы .

Если a=0, то ре­ше­ни­ем си­сте­мы, а вме­сте с ней и ис­ход­но­го урав­не­ния, яв­ля­ет­ся любое число. Сле­до­ва­тель­но, зна­че­ние a=0 под­хо­дит. Если a не равно 0, обе части каж­до­го из не­ра­венств си­сте­мы можно раз­де­лить на по­ло­жи­тель­ную ве­ли­чи­ну a в квад­ра­те , со­хра­няя знаки не­ра­венств. Си­сте­ма при­ни­ма­ет вид левая круг­лая скоб­ка x боль­ше или равно минус a в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка \vee левая круг­лая скоб­ка x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби a в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , от­ку­да

минус a в кубе мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби a в квад­ра­те .

По­лу­чен­ное двой­ное не­ра­вен­ство имеет боль­ше од­но­го ре­ше­ния, если

минус a в кубе мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби a в квад­ра­те рав­но­силь­но минус a в сте­пе­ни 5 мень­ше 1 рав­но­силь­но a в сте­пе­ни 5 боль­ше минус 1 рав­но­силь­но a боль­ше минус 1.

При таких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра верно не­ра­вен­ство минус a в кубе мень­ше 1, а по­то­му двой­ное не­ра­вен­ство имеет боль­ше семи на­ту­раль­ных ре­ше­ний тогда и толь­ко тогда, когда дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби a в квад­ра­те боль­ше или равно 7, от­ку­да a в квад­ра­те мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби , то есть минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из 7 мень­ше или равно a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из 7 . При этом для рас­смат­ри­ва­е­мо­го слу­чая a не равно 0, но зна­че­ние a = 0 было про­ве­ре­но от­дель­но и ока­за­лось под­хо­дя­щим.

 

Ответ: минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из 7 мень­ше или равно a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из 7 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 463
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром, Мо­дуль числа, мо­дуль вы­ра­же­ния, Урав­не­ние с мо­ду­лем
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025