На боковом ребре FD правильной четырехугольной пирамиды FABCD отмечена точка M так, что FM : FD = 2 : 5.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ есть равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
а) Плоскость MPQ пересекает плоскость ABC по отрезку PQ. Поскольку точки P и Q суть середины отрезков AD и BC соответственно, прямая PQ параллельна прямой CD. Следовательно, плоскость MPQ пересекает плоскость FCD по отрезку MN, который параллелен прямой CD. Заметим, что отрезки MN и PQ не равны, поскольку 
Тогда четырехугольник MPQN — трапеция. Треугольники MDP и NCQ равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, 
Таким образом, трапеция MPQN — равнобедренная.
б) Найдем объем многогранника MNCQPD:
Найдем объем пирамиды QCMN и выразим его через объем пирамиды BFCD:
Тогда
откуда 
а значит,
Таким образом,
Следовательно, плоскость MPQ разбивает пирамиду 
Ответ: