Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 658426
i

В тре­уголь­ни­ке FGH угол G пря­мой, F G = 8, G H = 2. Точка D лежит на сто­ро­не FH, A и B  — точки пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ков FGD и DGH со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что 9 B G в квад­ра­те плюс D H в квад­ра­те = 2 левая круг­лая скоб­ка D G в квад­ра­те плюс G H в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка GAB.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть точка M  — се­ре­ди­на от­рез­ка HD. Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

ко­си­нус \angle HMG = дробь: чис­ли­тель: MH в квад­ра­те плюс MG в квад­ра­те минус GH в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 MH умно­жить на MG конец дроби ,

ко­си­нус \angle DMG = дробь: чис­ли­тель: DM в квад­ра­те плюс MG в квад­ра­те минус GD в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на DM умно­жить на MG конец дроби ,

сле­до­ва­тель­но,

\angle HMG плюс \angle DMG = 180 гра­ду­сов рав­но­силь­но ко­си­нус \angle HMG плюс ко­си­нус \angle DMB = 0.

Тогда

дробь: чис­ли­тель: MH в квад­ра­те плюс MG в квад­ра­те минус GH в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 MH умно­жить на MG конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: DM в квад­ра­те плюс MG в квад­ра­те минус GD в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 DM умно­жить на MG конец дроби = 0 рав­но­силь­но MH в квад­ра­те плюс MG в квад­ра­те минус GH в квад­ра­те плюс DM в квад­ра­те плюс MG в квад­ра­те минус GD в квад­ра­те = 0.

 

MH = MD, по­это­му

2 MG в квад­ра­те плюс 2 MH в квад­ра­те = GD в квад­ра­те плюс GH в квад­ра­те рав­но­силь­но 4 MG в квад­ра­те плюс 4 MH в квад­ра­те = 2 левая круг­лая скоб­ка GD в квад­ра­те плюс GH в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на BG пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2 MH пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 2 левая круг­лая скоб­ка GD в квад­ра­те плюс GH в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 9 BG в квад­ра­те плюс HD в квад­ра­те = 2 левая круг­лая скоб­ка DG в квад­ра­те плюс GH в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Пусть точка N  — се­ре­ди­на от­рез­ка DF. Тогда S_GMN = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби S_CHF, по­сколь­ку MN = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби HF, а вы­со­та, про­ве­ден­ная из точки G,  — общая. Далее,

дробь: чис­ли­тель: GB, зна­ме­на­тель: GM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: GA, зна­ме­на­тель: GN конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки GBA и GMN по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том k = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Зна­чит,

S_GBA = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те умно­жить на S_GMN = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на S_GHF = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 умно­жить на 8 = дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 463
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки, По­до­бие
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025