PDF-версии: 
В окружность вписана трапеция, основание AD которой является диаметром, а угол BAD равен 60°. Хорда CE пересекает диаметр AD в точке P так, что 
а) Докажите, что СР делит трапецию на две равновеликие части.
б) Найдите площадь треугольника ВРЕ, если радиус окружности равен 
Решение. а) Пусть точка O — центр окружности, то есть середина основания AD. Тогда угол BAD равен 60°, значит, треугольник ABO равносторонний. Тогда
следовательно, и треугольник BOC равносторонний, то есть 
и тогда
Найдем площадь треугольника CPD:
где h — высота трапеции. Таким образом, 
б) Заметим, что отрезок BP — медиана и высота в равностороннем треугольнике ABO. Поэтому
По тереме Пифагора находим:
откуда 
По теореме о произведении отрезков хорд получаем: 
то есть 
откуда 
Тогда
По тереме косинусов для треугольника BPE получаем:
откуда, учитывая, что 
получаем: 
Таким образом,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |