а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ через точки B₁ и D₁ про­хо­дят плос­ко­сти α и β, каж­дая из ко­то­рых делит диа­го­наль AC₁ на части, от­но­ся­щи­е­ся друг к другу как 1 : 3. Также AB  =  4, BC  =  3 и вы­со­та па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти α и β пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов ча­стей, на ко­то­рые плос­ко­сти α и β делят па­рал­ле­ле­пи­пед  ABCDA₁B₁C₁D₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 12 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года.

Най­ди­те r, если из­вест­но, что наи­боль­ший го­до­вой пла­теж по кре­ди­ту в 2 раза боль­ше наи­мень­ше­го пла­те­жа.

В окруж­ность впи­са­на тра­пе­ция, ос­но­ва­ние AD ко­то­рой яв­ля­ет­ся диа­мет­ром, а угол BAD равен 60°. Хорда CE пе­ре­се­ка­ет диа­метр AD в точке P так, что

а)  До­ка­жи­те, что СР делит тра­пе­цию на две рав­но­ве­ли­кие части.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ВРЕ, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма не­ра­венств

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

На­ту­раль­ное число на­зы­ва­ет­ся сво­бод­ным от квад­ра­тов, если оно не де­лит­ся ни на один квад­рат на­ту­раль­но­го числа, кроме 1. Со­ста­вим две по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел: {a_n} и {b_n}, где a_n наи­боль­ший де­ли­тель числа n, яв­ля­ю­щий­ся точ­ным квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа, b_n  — наи­боль­ший сво­бод­ный от квад­ра­тов де­ли­тель числа n. Обо­зна­чим через t(n) ко­ли­че­ство де­ли­те­лей числа n.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б)  Сколь­ко на­ту­раль­ных чисел удо­вле­тво­ря­ют ра­вен­ству

в)  Какие на­ту­раль­ные числа удо­вле­тво­ря­ют ра­вен­ству Какое наи­боль­шее на­ту­раль­ное число удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству