Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 659588
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 9 x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс синус левая круг­лая скоб­ка Пи плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 9 x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = синус в квад­ра­те 4 x.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

a)  При­ме­ним фор­му­лы при­ве­де­ния и фор­му­лу си­ну­са раз­но­сти, по­лу­чим:

синус дробь: чис­ли­тель: 9 x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 9 x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9 x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = синус 4x.

От­сю­да имеем:

синус 4x = синус в квад­ра­те 4 x рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус 4x =0, синус 4x = 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 4x = Пи k, 4x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти . k, n при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­ных не­ра­венств. Для пер­вой серии по­лу­ча­ем:

дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 6 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но k = 3, 4, 5, 6.

Для вто­рой серии на­хо­дим:

дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи плюс 4 Пи n, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 6 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи плюс 4 Пи n, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 12 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби рав­но­силь­но 6 Пи мень­ше или равно Пи плюс 4 Пи n мень­ше или равно 12 Пи рав­но­силь­но n = 2.

Най­ден­ным зна­че­ни­ям па­ра­мет­ров со­от­вет­ству­ют корни: дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , Пи , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

 

Ответ: a) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка , б) дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , Пи , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 466
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус
Методы алгебры: Фор­му­лы сло­же­ния и вы­чи­та­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026