Натуральное число 
называется свободным от квадратов, если оно не делится ни на один квадрат натурального числа, кроме 1. Составим две последовательности натуральных чисел: {an} и {bn}, где an наибольший делитель числа n, являющийся точным квадратом натурального числа, bn — наибольший свободный от квадратов делитель числа n. Обозначим через t(n) количество делителей числа n.
а) Может ли выполняться равенство 
б) Сколько натуральных чисел 
удовлетворяют равенству 
в) Какие натуральные числа удовлетворяют равенству 
Какое наибольшее натуральное число 
удовлетворяет неравенству 
Заметим, что если число n разложено на простые множители 
то наибольший свободный от квадратов его делитель это 
а наибольший делитель-квадрат это число 
где 
при четном ki и 
при нечетном ki. Кроме того отметим, что количество делителей числа 
равно
а) Если 
то 
и равенство 
неверно. Если 
то
и равенство опять неверно. Если же 
то число n не является квадратом.
Заметим, что t(x) нечетно тогда и только тогда, когда x — точный квадрат, так как все делители числа разбиваются на пары, дающие в произведении само число. Если количество делителей нечетно, один делителей образует пару сам с собой — его квадратом число и является. Если же число делителей четно, то такого делителя нет и число — не квадрат. Значит, t(n) и t(bn) четны, а t(an) нечетно, поэтому равенство 
невозможно и в этом случае.
б) Ясно, что если 
то равенство не выполняется. Если же 
то запишем n в виде 
Если x имеет как минимум два делителя 
и 
то an p и an q — два делителя n, не являющиеся делителями an и 
Значит, x — простое число.
Далее, если в разложении an на множители есть какое-то простое число 
то n кратно n и 
при этом an им не кратно, поскольку 
и
а это число нецелое.
Итак, в разложение an может входить только простой множитель x в четной степени, а в разложение n — он же в нечетной. Подходят простые числа (их 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97), кубы простых чисел 
и 
и число 25. Остальные нечетные степени простых числе больше 100.
в) Как следует из замечания перед решением, для равенства 
необходимо и достаточно, чтобы все простые множители входили в n в нечетной степени. Это так для
и числа 997 (простое), но не так для числа 
Для него 
и 
поэтому 
Ответ: а) нет; б) 28; в) 996.