PDF-версии: 
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что 
б) Найдите длину отрезка BC, если 
Решение. а) Заметим, что высота AA1 треугольника ABC проходит через точку H. В четырёхугольнике AC1HB1 углы C1 и B1 — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Вписанные углы AC1B1 и AHB1 опираются на одну дугу, следовательно, ∠AHB1 = ∠AC1B1.
Углы BC1C и BB1C — прямые, значит, точки B, C, B1 и C1 лежат на окружности с диаметром BC. Следовательно,
Получаем, что 
б) В треугольнике AB1C1 диаметр описанной окружности 
откуда
В прямоугольном треугольнике BB1A имеем:
В прямоугольном треугольнике CC1A имеем:
Получаем, что 
Треугольники ABC и AB1C1 имеют общий угол A и 
следовательно, они подобны. Тогда
Значит, 
Ответ: б) 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |