Тип 19 № 670050 
Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии
i
а) При подготовке к ЕГЭ по математике Петя решил прорешать все задачи из сборника прошлого года, начиная с самых простых и кончая самыми сложными. В понедельник он решил половину всех задач и еще одну, а далее каждый день решал половину задач, оставшихся от предыдущего дня, и еще одну. В пятницу той же недели все задачи сборника были решены. Сколько всего задач было в сборнике?
б) Решив все задачи, Петя начал составлять последовательность {an} из натуральных чисел по следующему правилу: первым членом является любое число a1, а дальше члены последовательности находятся по формуле 
Если на каком-то этапе получается не натуральное число, то последовательность заканчивается последним натуральным числом. Чему равен последний член этой последовательности?
в) Какое наибольшее количество квадратов может быть в такой последовательности?
Решение. а) В пятницу Петя решил половину оставшихся задач и еще одну, значит, эта одна — вторая половина остававшихся задач, а всего их оставалось две. В четверг Петя решил половину оставшихся задач и еще одну, при этом осталось две. Значит, половина оставшихся задач состояла из 2 + 1 = 3 задач, а всего задач было 6. Аналогично в среду было решено 
задач, а всего к среде оставалось решить 
задач. Во вторник было решено 
задач, а оставалось ко вторнику не решено 
задач. В понедельник было решено 
задачи, а всего нужно было решить 
задачи.
б) Рассмотрим последовательность 
тогда
Последовательность bn — геометрическая прогрессия со знаменателем 
Очевидно, что an целое тогда и только тогда, когда bn целое. Значит, последний член последовательности bn получается разложением b1 на простые множители и вычеркиванием из полученной записи всех множителей, равных 2.
Итак, если 
где x нечетно, то последним членом последовательности bn станет x, а последним членом an станет x – 2. Если, конечно, 
Если же x = 1, то в какой-то момент получим bn = 4, откуда an = 2 и an + 1 = 0, что недопустимо, поскольку нуль не натуральное число, а потому последовательность остановится на двойке.
в) Если 
то
поэтому два квадрата возможны.
Пусть в последовательности как минимум три члена. Тогда
и
что кратно 2, но не кратно 4, и потому не может быть квадратом. Значит, из трех подряд членов последовательности первый быть квадратом не может. Следовательно, в любой последовательности только последние два члена могут быть квадратами, поэтому их не более двух.
Ответ: а) 62; б) если 
то 2, в противном случае 
где x — наибольший нечетный делитель числа a1 + 2; в) 2.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) 62; б) если
то 2, в противном случае
где
x — наибольший нечетный делитель числа
a1 + 2; в) 2.
670050
а) 62; б) если
то 2, в противном случае
где
x — наибольший нечетный делитель числа
a1 + 2; в) 2.
PDF-версии: