а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [20; 25].

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной S яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD, в ко­то­рой AD  =  2BC. Се­че­ние пи­ра­ми­ды SABCD про­хо­дит через точку B и яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком. Из­вест­но, что это се­че­ние делит вы­со­ту пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны S.

а)  До­ка­жи­те, что вы­со­та пи­ра­ми­ды SABCD про­хо­дит через се­ре­ди­ну вы­со­ты ос­но­ва­ния ABCD.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью бо­ко­вой грани SAB, если плос­кость се­че­ния на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 15°, а одна из сто­рон се­че­ния равна боль­ше­му ос­но­ва­нию тра­пе­ции ABCD.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ев­ге­ний взял 16 ян­ва­ря кре­дит на сумму 1 млн руб. на 6 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы. Каж­дый месяц 1-⁠го числа долг воз­рас­та­ет на целое число r про­цен­тов по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца. Со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга. Каж­дый месяц 15-⁠го числа долг дол­жен со­став­лять не­ко­то­рую сумму в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние r, при ко­то­ром общая сумма вы­плат будет со­став­лять более 1,25 млн руб.

Бис­сек­три­са AM остро­го угла A рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD делит бо­ко­вую сто­ро­ну CD по­по­лам. От­ре­зок DN пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку AM и делит сто­ро­ну AB в от­но­ше­нии AN : NB  =  5 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BM и DN па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно пять кор­ней.

а)  При под­го­тов­ке к ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке Петя решил про­ре­шать все за­да­чи из сбор­ни­ка про­шло­го года, на­чи­ная с самых про­стых и кон­чая са­мы­ми слож­ны­ми. В по­не­дель­ник он решил по­ло­ви­ну всех задач и еще одну, а далее каж­дый день решал по­ло­ви­ну задач, остав­ших­ся от преды­ду­ще­го дня, и еще одну. В пят­ни­цу той же не­де­ли все за­да­чи сбор­ни­ка были ре­ше­ны. Сколь­ко всего задач было в сбор­ни­ке?

б)  Решив все за­да­чи, Петя начал со­став­лять по­сле­до­ва­тель­ность {a_n} из на­ту­раль­ных чисел по сле­ду­ю­ще­му пра­ви­лу: пер­вым чле­ном яв­ля­ет­ся любое число a₁, а даль­ше члены по­сле­до­ва­тель­но­сти на­хо­дят­ся по фор­му­ле Если на каком-то этапе по­лу­ча­ет­ся не на­ту­раль­ное число, то по­сле­до­ва­тель­ность за­кан­чи­ва­ет­ся по­след­ним на­ту­раль­ным чис­лом. Чему равен по­след­ний член этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство квад­ра­тов может быть в такой по­сле­до­ва­тель­но­сти?