а)  Пусть се­че­ние пе­ре­се­ка­ет плос­кость ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды по пря­мой l, а плос­кость ADS  — по пря­мой m. Если l и AD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке X, то и пря­мая m про­хо­дит через X. Но про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка па­рал­лель­ны, а по­то­му не могут ле­жать на пе­ре­се­ка­ю­щих­ся пря­мых. Сле­до­ва­тель­но, пря­мая l па­рал­лель­на пря­мой AD, а зна­чит, сов­па­да­ет с пря­мой BC.

Пусть BPQC  — се­че­ние, яв­ля­ю­ще­е­ся пря­мо­уголь­ни­ком, тогда от­ре­зок PQ па­рал­ле­лен от­рез­ку BC и сле­до­ва­тель­но, точка P  — се­ре­ди­на ребра SA, а точка Q  — се­ре­ди­на ребра SD. Рас­смот­рим се­че­ние пи­ра­ми­ды, про­хо­дя­щее через ее вы­со­ту SH пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой AD. Обо­зна­чим M и N  — се­ре­ди­ны сто­рон BC и AD со­от­вет­ствен­но, пусть T  — се­ре­ди­на от­рез­ка PQ, и пусть вы­со­та SH и се­че­ние BPQC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Из тео­ре­мы Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка HSN и се­ку­щей TO по­лу­ча­ем:

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, точка  H  — се­ре­ди­на от­рез­ка MN.

б)  Пусть PR  — вы­со­та тра­пе­ции APQD. Из усло­вия сле­ду­ет, что длина BP или длина PQ равна длине AD. Кроме того PQ  — по­ло­ви­на AD, зна­чит, BP  =  AD.

Пусть AD  =  BP  =  4x, тогда BM  =  RN  =  x  =  PT. Рас­смот­рим тре­уголь­ник MSN. Пусть тогда:

По тео­ре­ме си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке MTS:

Из ра­вен­ства (1) по­лу­ча­ем:

а из ра­вен­ства (2):

Пусть h  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка MST, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны S, тогда За­ме­тим, что эта вы­со­та яв­ля­ет­ся также и вы­со­той пи­ра­ми­ды SBPTM, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны S. Пусть β  — угол между бо­ко­вой гра­нью SBP и ос­но­ва­ни­ем BPTM. Тогда:

Итак, ис­ко­мый угол β равен 

Ответ: б) 

При­ме­ча­ние.

Воз­мож­ны лишь пять слу­ча­ев вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния трех плос­ко­стей в про­стран­стве:

а)  все три плос­ко­сти па­рал­лель­ны;

б)  две плос­ко­сти па­рал­лель­ны, а тре­тья пе­ре­се­ка­ет их по па­рал­лель­ным пря­мым;

в)  плос­ко­сти по­пар­но пе­ре­се­ка­ют­ся по трем раз­лич­ным пря­мым, и эти пря­мые па­рал­лель­ны;

г)  плос­ко­сти по­пар­но пе­ре­се­ка­ют­ся по трем раз­лич­ным пря­мым, и эти пря­мые имеют общую точку;

д)  все три плос­ко­сти пе­ре­се­ка­ют­ся по общей пря­мой.

Плос­кость ос­но­ва­ния ABCD, плос­кость грани ASD и плос­кость се­че­ния не могут рас­по­ла­гать­ся спо­со­ба­ми а), б) и д), по­это­му оста­ет­ся лишь два слу­чая. В на­ча­ле до­ка­за­тель­ства пунк­та а) по­ка­за­но, что слу­чай г) не со­от­вет­ству­ет усло­вию, по­это­му оста­ет­ся толь­ко слу­чай в).

Слу­чаи в) и г) сов­мест­но об­ра­зу­ют также сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние: если три плос­ко­сти по­пар­но пе­ре­се­ка­ют­ся по трем пря­мым, то эти пря­мые либо имеют общую точку, либо па­рал­лель­ны.