PDF-версии: 
Основанием пирамиды с вершиной S является равнобедренная трапеция ABCD, в которой AD = 2BC. Сечение пирамиды SABCD проходит через точку B и является прямоугольником. Известно, что это сечение делит высоту пирамиды в отношении 2 : 1, считая от вершины S.
а) Докажите, что высота пирамиды SABCD проходит через середину высоты основания ABCD.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью боковой грани SAB, если плоскость сечения наклонена к плоскости основания под углом 15°, а одна из сторон сечения равна большему основанию трапеции ABCD.
Решение. а) Пусть сечение пересекает плоскость основания пирамиды по прямой l, а плоскость ADS — по прямой m. Если l и AD пересекаются в точке X, то и прямая m проходит через X. Но противоположные стороны прямоугольника параллельны, а потому не могут лежать на пересекающихся прямых. Следовательно, прямая l параллельна прямой AD, а значит, совпадает с прямой BC.
Пусть BPQC — сечение, являющееся прямоугольником, тогда отрезок PQ параллелен отрезку BC и 
следовательно, точка P — середина ребра SA, а точка Q — середина ребра SD. Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через ее высоту SH перпендикулярно прямой AD. Обозначим M и N — середины сторон BC и AD соответственно, пусть T — середина отрезка PQ, и пусть высота SH и сечение BPQC пересекаются в точке O. Из теоремы Менелая для треугольника HSN и секущей TO получаем:
откуда 
Следовательно, точка H — середина отрезка MN.
б) Пусть PR — высота трапеции APQD. Из условия следует, что длина BP или длина PQ равна длине AD. Кроме того PQ — половина AD, значит, BP = AD.
Пусть AD = BP = 4x, тогда BM = RN = x = PT. Рассмотрим треугольник MSN. Пусть 
тогда:
По теореме синусов в треугольнике MTS:
Из равенства (1) получаем:
а из равенства (2):
Пусть h — высота треугольника MST, проведенная из вершины S, тогда 
Заметим, что эта высота является также и высотой пирамиды SBPTM, проведенной из вершины S. Пусть β — угол между боковой гранью SBP и основанием BPTM. Тогда:
Итак, искомый угол β 
Ответ:
Примечание.
Возможны лишь пять случаев взаимного расположения трех плоскостей в пространстве:
а) все три плоскости параллельны;
б) две плоскости параллельны, а третья пересекает их по параллельным прямым;
в) плоскости попарно пересекаются по трем различным прямым, и эти прямые параллельны;
г) плоскости попарно пересекаются по трем различным прямым, и эти прямые имеют общую точку;
д) все три плоскости пересекаются по общей прямой.
Плоскость основания ABCD, плоскость грани ASD и плоскость сечения не могут располагаться способами а), б) и д), поэтому остается лишь два случая. В начале доказательства пункта а) показано, что случай г) не соответствует условию, поэтому остается только случай в).
Случаи в) и г) совместно образуют также следующее утверждение: если три плоскости попарно пересекаются по трем прямым, то эти прямые либо имеют общую точку, либо параллельны.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |