Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 670048
i

Бис­сек­три­са AM остро­го угла A рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD делит бо­ко­вую сто­ро­ну CD левая круг­лая скоб­ка M при­над­ле­жит CD пра­вая круг­лая скоб­ка по­по­лам. От­ре­зок DN пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку AM и делит сто­ро­ну AB в от­но­ше­нии AN : NB  =  5 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BM и DN па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 12 ко­рень из 2 .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть пря­мая BM пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние AD в точке E, тогда тре­уголь­ни­ки BCM и EDM равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам. Сле­до­ва­тель­но, BM  =  ME как со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты рав­ных фигур. В тре­уголь­ни­ке ABE от­ре­зок AM  — ме­ди­а­на и бис­сек­три­са, а зна­чит, и вы­со­та, то есть от­ре­зок AM пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой BE. По усло­вию от­ре­зок AM пер­пен­ди­ку­ля­рен также пря­мой DN, по­это­му пря­мая DN па­рал­лель­на пря­мой BE по при­зна­ку па­рал­лель­ных пря­мых.

б)  Из ра­венств AN  =  AD и AB  =  AE по­лу­ча­ем, что BN  =  DE  =  BC. Пусть BC  =  x, тогда AB  =  6x, AD  =  5x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем вы­со­ту BH тра­пе­ции:

BH = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 6x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5x минус x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x.

Вы­ра­зим пло­щадь тра­пе­ции: S_ABCD = 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , от­ку­да

дробь: чис­ли­тель: x плюс 5x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x = 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x в квад­ра­те = 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но x в квад­ра­те = 1 рав­но­силь­но x = 1,

а по­то­му

MN = MD = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на CD = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 6x = 3.

Ответ: б)  3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 476
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: Рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025