ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 670046 Добавить в вариант

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 27x в степени 4 правая круглая скобка плюс 4 логарифм по основанию 3 x плюс 12, знаменатель: логарифм по основанию 3 в квадрате дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби минус 16 конец дроби меньше или равно минус 1.$

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что значения переменной х положительны. Положим $t= логарифм по основанию 3 x,$ тогда

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 27x в степени 4 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 27 плюс логарифм по основанию 3 x в степени 4 = 3 плюс 4 логарифм по основанию 3 |x| = 3 плюс 4 логарифм по основанию 3 x = 3 плюс 4t,$

$логарифм по основанию 3 в квадрате дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби минус 16 = левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x в квадрате минус логарифм по основанию 3 3 правая круглая скобка в квадрате минус 16 = левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 16 = 4t в квадрате минус 4t минус 15.$

Получаем:

$дробь: числитель: 8t плюс 15, знаменатель: 4t в квадрате минус 4t минус 15 конец дроби меньше или равно минус 1 равносильно дробь: числитель: 8t плюс 15 плюс 4t в квадрате минус 4t минус 15, знаменатель: левая круглая скобка 2t минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t плюс 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 4t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2t минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t плюс 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше t меньше или равно минус 1 , 0 меньше или равно t меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше логарифм по основанию 3 x меньше или равно минус 1 , 0 меньше или равно логарифм по основанию 3 x меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 3 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше x меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , 3 в степени 0 меньше или равно x меньше 3 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 9 конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , 1 меньше или равно x меньше 9 корень из 3 . конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 9 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1 ; 9 корень из 3 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 476

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь