ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 670049 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$5 в степени левая круглая скобка x в кубе минус 6x в квадрате плюс 34 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка умножить на корень из 5 в степени левая круглая скобка x в кубе минус 6x в квадрате плюс 34 правая круглая скобка плюс a в квадрате минус 7a плюс 12 = 0$

имеет ровно пять корней.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим функцию $t левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 6x в квадрате плюс 34$ и исследуем её с помощью производной (см. рис.):

$t' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате минус 12x=3x левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка .$

Значит, каждому значению $2 меньше t меньше 34$ соответствуют три различных значения x, каждому из значений $t=2$ и $t=34$ соответствуют по два различных значения x, а каждому значению $t меньше 2$ или $t больше 34$ соответствуют по одному значению x.

Пусть $y= корень из 5 в степени левая круглая скобка t правая круглая скобка ,$ тогда исходное уравнение принимает вид

$y в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка y плюс a в квадрате минус 7a плюс 12 = 0. \qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка$

Для того чтобы исходное уравнение имело ровно пять корней, необходимо и достаточно, чтобы полученное квадратное уравнение имело два корня y₁ и y₂ такие, что $y_1= корень из 5 в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 5$ или $y_1= корень из 5 в степени левая круглая скобка 34 правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка 17 правая круглая скобка ,$ и при этом $корень из 5 в квадрате меньше y_2 меньше корень из 5 в степени левая круглая скобка 34 правая круглая скобка левая круглая скобка ** правая круглая скобка .$ Рассмотрим эти случаи.

1.  Найдём значения параметра a, при которых корнем уравнения (⁎) является $y_1 = 5:$

$25 минус левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка умножить на 5 плюс a в квадрате минус 7a плюс 12 = 0 равносильно a в квадрате минус 12a плюс 27=0 равносильно совокупность выражений a=3, a=9. конец совокупности .$

По теореме Виета $y_1 плюс y_2=a плюс 2,$ значит, при $a=3$ имеем:

$y_2=3 плюс 2 минус 5 = 0,$

что не удовлетворяет условию (⁎⁎). При $a=9$ аналогично получаем:

$y_2=9 плюс 2 минус 5 = 6,$

что удовлетворяет условию (⁎⁎). Значит, при $a=9$ исходное уравнение имеет ровно пять корней.

2.  Рассмотрим случай, при котором корнем уравнения является $y_1=5 в степени левая круглая скобка 17 правая круглая скобка .$ Тогда

$5 в степени левая круглая скобка 34 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка 17 правая круглая скобка плюс a в квадрате минус 7a плюс 12 = 0 равносильно a в квадрате минус левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 17 правая круглая скобка плюс 7 правая круглая скобка a плюс 5 в степени левая круглая скобка 34 правая круглая скобка минус 2 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 17 правая круглая скобка плюс 12=0.$

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения:

$D=5 в степени левая круглая скобка 34 правая круглая скобка плюс 14 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 17 правая круглая скобка плюс 49 минус 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 34 правая круглая скобка плюс 8 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 17 правая круглая скобка минус 48= минус 3 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 34 правая круглая скобка плюс 22 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 17 правая круглая скобка плюс 1 меньше 0.$

Значит, число $5 в степени левая круглая скобка 17 правая круглая скобка$ не может являться корнем уравнения (⁎) ни при каком значении параметра a.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно пять корней только при $a=9.$

Ответ: 9.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 476

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Введение замены, Использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь