PDF-версии: 
В основании пирамиды SABCD с равными боковыми ребрами лежит прямоугольник ABCD. Через точку пересечения медиан грани SBC и вершину A проходит плоскость α, параллельная ребру SD.
а) Докажите, что плоскость α проходит через точку C.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью SBC, если 
Решение. а) Пусть точка M — точка пересечения медиан треугольника SBC, точка P — середина отрезка BC, точка K — точка пересечения отрезков AC и PD. Заметим, что треугольники AKD и CKP подобны по двум углам, тогда
По свойству точки пересечения медиан 
а тогда 
откуда следует параллельность отрезков MK и DS. Плоскость 
должна пересекать плоскость SDP по прямой, параллельной отрезку SD, ведь плоскость параллельна отрезку SD по условию. Значит, плоскость проходит через точку K, а тогда и через точку C, потому что точка C лежит на прямой AK.
б) Если боковые ребра пирамиды равны, то равны и их проекции. Вершина пирамиды проектируется в точку, равноудаленную от всех вершин основания, то есть в точку пересечения диагоналей основания ABCD — точку O.
Введем систему координат с началом в точке B, ось Ox направим как луч BC, ось Oy — как луч BA, ось Oz направим вверх. Запишем теперь координаты точек: 
Здесь мы использовали, что
и то, что точкой M отрезок SP делится в отношении 2 : 1, считая от вершины. Составим уравнение плоскости SBC, пусть оно таково: 
Подставив координаты соответствующих точек, получим:
откуда B = –2C, D = 0, A = 0. Уравнение плоскости имеет вид 
Уравнение плоскости имеет вид: Подставим координаты точек A, M, C:
откуда 
Уравнение плоскости имеет вид 
Плоскость SBC перпендикулярна вектору 
Плоскость перпендикулярна вектору 
Найдем косинус угла между плоскостями:
следовательно, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |