Ре­ше­ние. а)  Из усло­вия сле­ду­ет, что

За­пи­шем вы­ра­же­ние (2) в виде и раз­де­лим (2) на (1), по­лу­чим: (3)  Скла­ды­вая (3) и (1), на­хо­дим, что то есть и Зна­чит, тре­уголь­ник ABD рав­но­бед­рен­ный, его бис­сек­три­са, про­ве­ден­ная к сто­ро­не BD, сов­па­да­ет с его вы­со­той. По­это­му впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны BD в ее се­ре­ди­не. Ана­ло­гич­но окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник BCD, ка­са­ет­ся сто­ро­ны BD в ее се­ре­ди­не, а это и есть точка K  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AC и BD.

б)  До­ка­жем лемму: пусть от­ре­зок AC  — ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABС, от­ре­зок BK  — вы­со­та, точки M и N  — точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти с ка­те­та­ми AB и BC со­от­вет­ствен­но, пря­мые PP₁ и QQ₁  — ка­са­тель­ные к впи­сан­ной окруж­но­сти, па­рал­лель­ные вы­со­те. Тогда пря­мые BP₁ и BQ₁  — бис­сек­три­сы углов ABK и KBC со­от­вет­ствен­но.

До­ка­за­тель­ство леммы: пусть точки T и S  — точки ка­са­ния пря­мых PP₁ и QQ₁ с окруж­но­стью, тогда

где r  — ра­ди­ус. От­рез­ки PM и MT, а также NQ и QS, равны как от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из одной точки. Тогда Ана­ло­гич­но Лемма до­ка­за­на.

Вер­нем­ся к за­да­че. Пусть точки P₁ и Q₁  — цен­тры окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ABD и BCD. Из леммы P₁Q₁  =  2r, где r  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Сле­до­ва­тель­но,

Кроме того, от­ку­да и

Ответ: б)  19.