а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет плос­ко­сти ниж­не­го и верх­не­го ос­но­ва­ний ци­лин­дра по пря­мым ВС и AD со­от­вет­ствен­но, при­чем AD : BC  =  5 : 4, а ось ци­лин­дра  — в точке Е и делит от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра, в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от ниж­не­го ос­но­ва­ния.

а)  Пря­мая DE пе­ре­се­ка­ет плос­кость ниж­не­го ос­но­ва­ния в точке Р. До­ка­жи­те, что бо­ко­вая по­верх­ность ци­лин­дра делит от­ре­зок DP в от­но­ше­нии 2 : 1.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ци­лин­дра плос­ко­стью α, если ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен  а вы­со­та ци­лин­дра равна 

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ари­старх от­кры­ва­ет бан­ков­ский вклад «Ста­биль­ный» на 1 год, по усло­ви­ям ко­то­ро­го вы­пла­та про­цен­тов про­из­во­дит­ся еже­ме­сяч­но на от­дель­ный счет из рас­че­та 15% го­до­вых. При до­сроч­ном рас­тор­же­нии до­го­во­ра вкла­да банк пе­ре­счи­ты­ва­ет вы­пла­чен­ные про­цен­ты из рас­че­та 1% го­до­вых. После ше­стой вы­пла­ты про­цен­тов Ари­старх узнал, что банк пред­ла­га­ет новый вклад «Ста­биль­но Ста­биль­ный» на тех же усло­ви­ях, но толь­ко под 25% го­до­вых. Слег­ка по­ду­мав, Ари­старх за­кры­ва­ет вклад «Ста­биль­ный» и всю сумму пе­ре­во­дит на вклад «Ста­биль­но Ста­биль­ный». Сколь­ко руб­лей по­те­рял Ари­старх вслед­ствие своих не­про­ду­ман­ных дей­ствий по ито­гам года, если сумма вкла­да  — 1 млн руб­лей? После какой по счету вы­пла­ты про­цен­тов дей­ствия Ари­стар­ха не при­нес­ли бы убыт­ка?

В че­ты­рех­уголь­ник ABCD можно впи­сать окруж­ность, а углы АВС и ADC  — пря­мые.

а)  До­ка­жи­те, что окруж­но­сти, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки ABD и DBC, ка­са­ют­ся в точке пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей че­ты­рех­уголь­ни­ка  ABCD.

б)  Най­ди­те АС, если пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ADC равен 44, а рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ABD и DBC, равно 6.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет более трех кор­ней.

а)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что числа n² и (n + 24)² имеют оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 92?

б)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что числа n² и (n + 23)² имеют оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 92?

в)  Пусть k(m)  — ко­ли­че­ство трех­знач­ных на­ту­раль­ных чисел n, таких, что числа n² и (n + m)² имеют оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 92, при­чем m  — дву­знач­ное на­ту­раль­ное число. Какие зна­че­ния может при­ни­мать k(m)?