ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 674029 Добавить в вариант

а)  Существует ли такое натуральное число n, что числа n² и (n + 24)² имеют одинаковые остатки при делении на 92?

б)  Существует ли такое натуральное число n, что числа n² и (n + 23)² имеют одинаковые остатки при делении на 92?

в)  Пусть k(m)  — количество трехзначных натуральных чисел n, таких, что числа n² и (n + m)² имеют одинаковые остатки при делении на 92, причем m  — двузначное натуральное число. Какие значения может принимать k(m)?

Спрятать решение

Решение.

а)  Требуется, чтобы

$левая круглая скобка n плюс 24 правая круглая скобка в квадрате минус n в квадрате = левая круглая скобка n плюс 24 плюс n правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 24 минус n правая круглая скобка = 24 левая круглая скобка 2n плюс 24 правая круглая скобка = 48 левая круглая скобка n плюс 12 правая круглая скобка$

было кратно 92. Например, подойдет n  =  80.

б)  Требуется, чтобы

$левая круглая скобка n плюс 23 правая круглая скобка в квадрате минус n в квадрате = левая круглая скобка n плюс 23 плюс n правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 23 минус n правая круглая скобка = 23 левая круглая скобка 2n плюс 23 правая круглая скобка$

было кратно 92, что невозможно, поскольку при любых значениях n это произведение двух нечетных чисел, то есть число нечетное.

в)  Требуется, чтобы

$левая круглая скобка n плюс m правая круглая скобка в квадрате минус m в квадрате = левая круглая скобка n плюс m плюс n правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс m минус n правая круглая скобка = m левая круглая скобка 2n плюс m правая круглая скобка$

было кратно 92. Разберем несколько случаев в зависимости от того, чему равен наибольший общий делитель m и 92.

НОД  =  92. Тогда годится любое n и $k левая круглая скобка m правая круглая скобка = 900.$ Например, это верно для m  =  92.

НОД  =  46. Тогда требуется, чтобы 2n + m делилось на 2, это верно при четном m, а оно четно, поскольку кратно 46, значит, $k левая круглая скобка m правая круглая скобка = 900.$

НОД  =  23. Тогда требуется, чтобы 2n + m делилось на 4, это неверно при нечетном m, а при четном m НОД был бы четным, значит, $k левая круглая скобка m правая круглая скобка = 0.$

НОД  =  4. Тогда требуется, чтобы 2n + m делилось на 23, то есть чтобы $n плюс дробь: числитель: m, знаменатель: 2 конец дроби$ — это число целое  — делилось на 23. То есть n должно иметь конкретный остаток от деления на 23. На каждые 23 идущих подряд числа приходится оно такое n, поэтому среди $39 умножить на 23 = 897$ чисел от 103 до 999 их ровно 39. А среди чисел 100, 101, 102  — либо одно (при m  =  28 годится 102), либо ни одного (при m  =  20 не годится ни одно). Поэтому $k левая круглая скобка m правая круглая скобка = 39$ или $k левая круглая скобка m правая круглая скобка = 40.$

НОД  =  2. Тогда требуется, чтобы 2n + m делилось на 46, то есть чтобы $n плюс дробь: числитель: m, знаменатель: 2 конец дроби$ (это число целое) делилось на 23. То есть n должно иметь конкретный остаток от деления на 23. На каждые 23 идущих подряд числа приходится оно такое n, поэтому среди $39 умножить на 23 = 897$ чисел от 103 до 999 их ровно 39. А среди чисел 100, 101, 102  — либо одно (при m  =  28 годится 102), либо ни одного (при m  =  20 не годится ни одно). Поэтому $k левая круглая скобка m правая круглая скобка = 39$ или $k левая круглая скобка m правая круглая скобка = 40.$ Этот случай повторяет предыдущий, приводить н нему примеры не обязательно.

НОД  =  1. Тогда нужно, чтобы 2n + m делилось на 92, это неверно при нечетном m (а при четном m НОД был бы четным), значит, $k левая круглая скобка m правая круглая скобка = 0.$

Итак, $k левая круглая скобка m правая круглая скобка принадлежит левая фигурная скобка 0, 39, 40, 900 правая фигурная скобка .$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  0, 39, 40, 900.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 488

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь