Тип 19 № 674029 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
а) Существует ли такое натуральное число n, что числа n2 и (n + 24)2 имеют одинаковые остатки при делении на 92?
б) Существует ли такое натуральное число n, что числа n2 и (n + 23)2 имеют одинаковые остатки при делении на 92?
в) Пусть k(m) — количество трехзначных натуральных чисел n, таких, что числа n2 и (n + m)2 имеют одинаковые остатки при делении на 92, причем m — двузначное натуральное число. Какие значения может принимать k(m)?
Решение. а) Требуется, чтобы
было кратно 92. Например, подойдет n = 80.
б) Требуется, чтобы
было кратно 92, что невозможно, поскольку при любых значениях n это произведение двух нечетных чисел, то есть число нечетное.
в) Требуется, чтобы
было кратно 92. Разберем несколько случаев в зависимости от того, чему равен наибольший общий делитель m и 92.
НОД = 92. Тогда годится любое n и 
Например, это верно для m = 92.
НОД = 46. Тогда требуется, чтобы 2n + m делилось на 2, это верно при четном m, а оно четно, поскольку кратно 46, значит,
НОД = 23. Тогда требуется, чтобы 2n + m делилось на 4, это неверно при нечетном m, а при четном m НОД был бы четным, значит, 
НОД = 4. Тогда требуется, чтобы 2n + m делилось на 23, то есть чтобы 
— это число целое — делилось на 23. То есть n должно иметь конкретный остаток от деления на 23. На каждые 23 идущих подряд числа приходится оно такое n, поэтому среди 
чисел от 103 до 999 их ровно 39. А среди чисел 100, 101, 102 — либо одно (при m = 28 годится 102), либо ни одного (при m = 20 не годится ни одно). Поэтому 
или 
НОД = 2. Тогда требуется, чтобы 2n + m делилось на 46, то есть чтобы (это число целое) делилось на 23. То есть n должно иметь конкретный остаток от деления на 23. На каждые 23 идущих подряд числа приходится оно такое n, поэтому среди чисел от 103 до 999 их ровно 39. А среди чисел 100, 101, 102 — либо одно (при m = 28 годится 102), либо ни одного (при m = 20 не годится ни одно). Поэтому или Этот случай повторяет предыдущий, приводить н нему примеры не обязательно.
НОД = 1. Тогда нужно, чтобы 2n + m делилось на 92, это неверно при нечетном m (а при четном m НОД был бы четным), значит,
Итак, 
Ответ: а) да; б) нет; в) 0, 39, 40, 900.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да; б) нет; в) 0, 39, 40, 900.
674029
а) да; б) нет; в) 0, 39, 40, 900.
PDF-версии: