Ре­ше­ние. а)  Пусть окруж­ность ω₁ ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке K и сто­ро­ны AB в точке L. Пусть окруж­ность ω₂ ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке Q. Пусть CN  =  CK  =  x, тогда

где p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC, от­ку­да Далее,

За­ме­тим, что внев­пи­сан­ная окруж­ность тре­уголь­ни­ка ABC ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке M. Кроме того, она впи­са­на в угол BCQ, но в угол BCQ можно впи­сать толь­ко одну окруж­ность, ка­са­ю­щу­ю­ся сто­ро­ны BC в точке M. Сле­до­ва­тель­но, окруж­ность ω₂ сов­па­да­ет с внев­пи­сан­ной окруж­но­стью, зна­чит, окруж­ность ω₂ ка­са­ет­ся пря­мой AB.

б)  Пусть AK  =  AL  =  y. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABC:

от­ку­да AB  =  5x, AC  =  4x. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)